I- bob. Tеkislikda analitik gеomеtriya

5-Masala. М₀(–3,–1) nuqtadan umumiy tenglamasi 4x+3у–1=0 bo‘lgan to‘g‘ri chiziqqacha bo‘lgan D masofani toping va ular o‘zaro qanday joylashganini aniqlang.
Yechish: (9) formulaga asosan

Bunda
Ax₀+ By₀+C=4·(–3)+3·(–1) –4=–19<0
bo‘lgani uchun М₀(–3,–1) nuqta L to‘g‘ri chiziqdan pastda joylashganligini ko‘ramiz.
Shuni ta’kidlab o‘tish kerakki, bu masala L to‘g‘ri chiziq normal tenglamasi

bilan berilganda juda oddiy yechiladi, chunki bu holda (9) formulani (V bob,§1, (6) formulaga qarang)
(10)
ko‘rinishda yozish mumkin. Demak, М₀(х₀,у₀) nuqtadan normal tenglamasi bilan berilgan to‘g‘ri chiziqqacha masofani topish uchun bu nuqta koordinatalarini normal tenglamaga qo‘yish va hosil bo‘lgan sonni absolut qiymatini olish kifoyadir.
6-masala: Berilgan L₁ va L₂ to‘g‘ri chiziqlarning М₀(х₀,у₀) kesishish nuqtasini toping.
Yechish: Bu to‘g‘ri chiziqlarning
A₁х+B₁y+C₁=0 (L₁), A₂х+B₂y+C₂=0 (L₂)
umumiy tenglamalarini qaraymiz. М₀(х₀,у₀) kesishish nuqtasi ham L₁ va ham L₂ to‘g‘ri chiziqlarga tegishli bo‘lgani uchun uning koordinatalari yuqoridagi ikkala umumiy tenglamalarni qanoatlantiradi. Demak, М₀(х₀,у₀) kesishish nuqtasining koordinatalari ushbu chiziqli tenglamalar sistemasidan topiladi:
. (11)
Agar (11) sistemada

shart bajarilsa, u yagona (х₀,у₀) yechimga ega bo‘ladi va L₁ , L₂ to‘g‘ri chiziqlar faqat bitta М₀(х₀,у₀) nuqtada kesishadi.
Agar (11) sistemada

shart bajarilsa, u cheksiz ko‘p yechimga ega bo‘ladi va L₁, L₂ to‘g‘ri chiziqlar ham cheksiz ko‘p nuqtalarda kesishadi, ya’ni ular ustma-ust tushadi.
Agar (11) sistemada

shart bajarilsa, u yechimga ega bo‘lmaydi va L₁ , L₂ to‘g‘ri chiziqlar birorta ham nuqtada kesishmaydi, ya’ni ular parallel joylashgan bo‘ladi.
Misol sifatida umumiy tenglamalari 2х+у–1=0 vа х+2у+1=0 bo‘lgan to‘g‘ri chiziqlarning М₀(х₀,у₀)kesishish nuqtasini topamiz. Bu holda (11) sistema va uning yechimi quyidagicha bo‘ladi:
.
Demak, bu to‘g‘ri chiziqlar М₀(1,–1) nuqtada kesishadi.