I-bap. Dara tuwındılı differentsiallıq teńlemeler. Klassifikatsiyası hám kanonikalıq túrleri

Mısal 4. teńlemesin kanonikalıq túrge alıp keliń hám tipin ayırıń.
Sheshiliwi. Berilgen teńlemege sáykes onıń kvadratlıq formasın jazıp, keyinshelik Lagranj usılın qollanamız


Eger

belgilewden soń

túrlendiriw jasasaq

bolıp, sáykes ózgeriwshilerdi sızıqlı almastırıw

túrinde ámelge asırıladı. Endi teńlemedegi tuwındılardı jańa ózgeriwshiler menen almastıramız:


.
Bulardı berilgenteńlemedegiorınlarınaqoyıp, berilgenteńlemeniń

kanonikalıq formasına iye bolamız. Demek berilgen teńleme giperbolalıq tipke jatadı eken.
Eskertiw. Berilgen teńlemeniń tipin onıń koeffitsientlerinen dúzilgen matritsa boyınshada anıqlawǵa boladı. Meyli (1) teńlemeniń koeffitsientlerin bolatuǵınday etip simmetriyalı kóriniste jazıp alayıq. Onda bul teńlemeni klassifikatsiyalaw, onıń bas aǵzalarınıń koeffitsientlerinen dúzilgen matritsanıń menshikli mánisleriniń qásiyetlerine baylanıslı boladı. Bizge belgili

matritsa simmetriyalı bolǵanı ushın onıń menshikli mánisleri haqıyqıy boladı. Meyli (1) teńlemeniń koeffitsientleri anıqlanǵan bazı-bir tochkanı fiksirleyik hám bul tochkada matritsası sandaǵı oń, sandaǵı teris hám sandaǵı nol bolǵan xarakteristikalıq sanlarǵa iye bolsın dep uyǵarayıq, bul jerde . Onda bul teńlemeni usı tochkada tipke jatadı dep aytıwǵa boladı.
Eger matritsasınıń elementleri turaqlı sanlardan ibarat bolsa, onda teńleme pútin keńislikte bir tipke tiyisli boladı. Eger teńlemeniń barlıq aǵzalarınıń belgilerin ózgertsek, onda hám sanlarınıń ornı almasadı, yaǵnıy hám tipler birdey boladı.
Tómendegi mısallardı qarastırayıq.
1). bul jerde .
Bul teńlemeniń bas aǵzalarınıń koeffitsientlerinen dúzilgen matritsa

bolıp, onıń xarakteristikalıq sanları . Bunnan kórinip turǵanınday, membrananıń terbelis teńlemesi pútin keńislikte tipke tiyisli.
2). Jıllılıq ótkizgishlik teńlemesi dep atalatuǵın teńlemesiniń tipke tiyisli ekenligin kórsetiwge boladı, sebebi onıń xarakteristikalıq sanları .
3). teńleme ushın

bolıp, onıń xarakteristikalıq sanları bolǵanlıqtan berilgen teńleme pútin keńislikte tipke tiyisli boladı.
Solay etip tómendegi úsh jaǵdayǵa iye bolamız:
1) egerde berilgen tochkada matritsasınıń xarakteristikalıq sanlarınıń hámmesi nolden ózgeshe bolıp, olar birdey belgige iye bolsa, (1) teńleme usı tochkada elliptikalıq tipke jatadı.
2) egerde berilgen tochkada matritsasınıń xarakteristikalıq sanlarınıń birewi nolge teń bolıp, qalǵanları nolden ózgeshe hám birdey belgige iye bolsa, onda (1) teńleme usı tochkada parabolalıq tipke jatadı.
3) egerde berilgen tochkada matritsasınıń xarakteristikalıq sanlarınıń hámmesi nolden ózgeshe bolıp, olardan birewi qalǵanları menen qarama-qarsı belgige iye bolsa, onda (1) teńleme usı tochkada giperbolalıq tipke jatadı. Basqasha aytqanda tómendegi úsh jaǵday orınlı:
- elliptikalıq tip;
- parabolalıq tip;
- giperbolalıq tip.
Joqarıda keltirilgen tiplerden basqasha kórinistegi tipler ultragiperbolalıq tip dep ataladı, mısalı

teńlemesi ultragiperbolalıq tiptegi teńleme boladı.