I. Kirisiw 1 II. Tiykarǵı bólim 2

Mazmunı

I. Kirisiw 1
II. Tiykarǵı bólim 2
1.Kóp ózgeriwshili funkciyalar 2
2. Eki eseli Riman integralı 8
3. Eki eseli integraldıń bar ekenligi hám qásiytleri. 12
4. Eki eseli integraldıń bar bolıwı hám qásiyetlerine tiyisli mısallar 18
III. Juwmaq 23
IV. Paydalanılǵan ádebiyatlar 24

I. Kirisiw

II. Tiykarǵı bólim

1.Kóp ózgeriwshili funkciyalar

Qandayda bir kóplik berilgen bolsın.
1.1 – Anıqlama. Eger M kópliktegi hár bir noqatqa qandayda bir qaǵıyda yamasa nızamǵa kóre bir haqıyqıy san sáykes qoyılǵan bolsın, M kóplikte kóp ózgeriwshili (m ta ózgeriwshili) funkciya berilgen (anıqlanǵan) dep ataladı jáne onı
yaki (1.1)
sıyaqlı belgilenedi. Bunda M - funkciyanıń beriliwi (anıqlanıwı ) kóplik, x₁, x₂, …, x_m erkli ózgeriwshili – funkciyanıń argumentleri, ol eriksiz ózgeriwshi x₁, x₂, …, x_m ózgeriwshilerdiń funkciyası dep ataladı.
(x₁, x₂, …, x_m) noqat bir ч menen belgileniwin itibarǵa alıp, endigiden derlik hámme waqıt (x₁, x₂, …, x_m) ornına x ti qollanamız. Ol jaǵdayda joqarıdaǵı (1. 1) belgilewler tómendegishe jazıladı.

Funkciyanıń beriliw kópliketn alınǵan alınǵan noqatqa sáykes keliwshi y₀ san y = f(x) funkciyanıń x = x⁰ noqatdaǵı menshikli mánisi dep ataladı:
Mısallar. 1. keńislikgi hár bir x noqatqa sol koordinatalardı jıyındısın sáykes qoyıwshı qaǵıyda, yaǵnıy,

bolsın. Bu halda funkciyası payda boladı. Bu funkciya M = R^m kóplikte berilgen.

1. 
   f – hár bir noqatta usı
   

qaǵıyda menen bir haqıyqıy sannı sáykes qoysın. Bul halda da kóp ózgeriwshili

funkciyaǵa iye bolamız. Bizge belgili, bul funkciya M kóplikte berilgen.
f(x) funkciya kóplikte berilgen bolsın. x ózgeriwshi M kóplikte ózgergende funkciyanıń sáykes mánislerinen ibarat kóplik funkciya mánisleri kópligi (funkciyanıń ózgeriwshi tarawı ) dep ataladı. Joqarıda keltirilgen birinshi mısalda funkciyanıń mánisleri kópligi ekinshisiniki bolsa segmentten ibarat boladı.
Sonda jáne bir bar qaytalap aytsaq, kóp ózgeriwshili (m ózgeriwshili) funkciyalarda funkciyanıń beriliw kópligi keńislikgi jıynaq bolıp, bul funkciya mánisleri kópligi bolsa haqıyqıy sanlardıń úles kópliginen ibarat esaplanadı.
keńisliginń noqatlarınan ibarat bul

kóplik funkciyanıń grafigi dep ataladı.
Máselen, m = 2 bolǵanda (R² keńislikte)

funkciyalar grafigi sáykes túrde R³ keńislik giperbolik paraboloid, aylanba paraboloid hám de joqarı yarım sferalardan ibarat esaplanadı (1-sızılma).

1-sızılma.
kóplikte funkciya berilgen bolıp lardıń hár biri kópliket berilgen funkciyalar bolsın:

Bunda ózgeriwshi kóplikte ózgergende olarǵa sáykes nuqat kópliket bolsın. Nátiyjede y ózgeriwshi ózgeriwshi arqalı ózgeriwshilerdiń funkciyası boladı:


Bul funkciya quramalı funkciya yamasa f(x) hámda funkciyalar superpoziciyasi dep ataladı.
Elementar funkciyalar ústinde qosıw, ayırıw, kóbeytiw hám bóliw ámelleri hám de funkciyalar superpoziciyasi járdeminde kóp ózgeriwshili elmentar funkciyalar payda etiledi. Bul


funkciyalar usılar qatarınan.
funkciya kópliket berilgen bolsın.
Egar bul funkciya mánisler kópligi

joqarıdan (tómennen) shegaralanǵan bolsa, yaǵnıy sonday ózgermeytuǵın C (ózgermeytuǵın P) san tawılsa
teńsizligi orınlı bolsa, funkciya M kóplikte joqarıdan (tómennen) shegaralanbaǵan dep ataladı.
Eger funkciya M kóplikte de joqarıdan, da tómennen de shegaralanǵan bolsa, funkciya sol kóplikte shegaralanǵan dep ataladı.
Máselen, da berilgen

funkciya usı M kóplikte tómenden shegaralanǵan, biraq joqarıdan shegaralanbaǵan bolıp tabıladı: