I. Kirisiw 1 II. Tiykarǵı bólim 2

3.3. Eki eseli integrallardıń bar bolıwı
3.1. – teorema. f(x,y) funkciya (D) oblastta integrallanıwshı bolıwı ushın, alınǵanda da, sonday tawılıp, (D) oblasttıń diametri bolǵan hár qanday P bóliniwge salıstırǵanda Darbu qosındıs
(3.2)
teńsizlikti qanaatlandırıwı zárúr hám jetkilikli.
Dálilleniwi. Zárúrligi. f (x,y) funkciya (D) tarawda integrallanıwshı bolsın. teoremmaǵa kóre

boladı, bunda

alınǵanda da, ge qarap sonday tawılıp, (D) oblasttıń diametri bolǵan hár qanday P bóliniwge salıstırǵanda Darbu qosındıları ushın (3.1) qatnasına tiykarlanıp

bolıp, onda

bolıwı kelip shıǵadı.
Jeterliligi. alınǵanda da, sonday tawılıp, (D) oblasttıń diametri bolǵan hár qanday P bóliniwge salıstırǵanda Darbu qosındıları ushın

bolsın. Qaralıp atırǵan f (x,y) funkciya (D) tarawda shegaralanǵanlıǵı ushın, onıń tómen hám de joqarı integralları

bar boladı,

boladı. Bizge belgili

Bul qatnastan

bolıwın tabamız. Sonday eken ushın

bolıp onda bolıwı kelip shıǵadı. Bul bolsa f (x, y) funkciyanıń (D) oblastta integrallanıwshı ekenligin ańlatadı. Teorema dálillendi.
Eger f(x,y) funkciyanıń (D_k) (k= 1, 2, . . ., n) tarawdaǵı tebranishini menen belgilesek, ol halda

bolıp, teoremadagi (3.2) shárt usı

yaǵnıy

Kórinisinde boladı.

4. Eki eseli integraldıń bar bolıwı hám qásiyetlerine tiyisli mısallar

1 – mısal. Usı

integralın 1-anıqlama járdeminde esaplań.
Bizge belgili, funkciya (D) da úzliksiz, demak, 2-teoremaǵa tiykarlanıp, demek bizge berilgen funkciya (D) da integrallanıwshı boladı. (D) oblasttı sızıqlar járdeminde bóleklerge ajratamız hám hár bir (D_ij) da dep qaraymız. Ol halda

boladı.
Bunda ebolsa da bolsa .
Demek,

2 – mısal. Usı

integralın 3 – anıqlama járdeminde esaplań, bunda
(D) oblasttı sızıqlar járdeminde bóleklerge ajıratamız.

ekenliginen

qatnasqa iye bolamız.
3 – mısal. Usı

Intgeralni esaplań. Bul jerde (D) tárepleri y = x, y = x + a, y = a, y= 3a (a>0) bolǵanda parallelogram.
Sızılmadan usıdan anıq boladı, integraldı qayta integralǵa keltiriwde, onı

kórinisinde ańlatıw maqsetke muwapıq (2-sızılma)

1-sızılma. 2-sızılma
Demek,

4 – mısal. Usı

integralın esaplań. Bul jerde (D) parabola va koordinata kósherleri menen shegaralanǵan oblasttı.
Sızılmadan integraldı

kórinisinde esaplaw maqsetine muwapıq ekenligin kóremiz (3-sızılma).

3-sızılma.
Demek,