I –Өзбетинше жумыс

Анықлама. (a x b)• с көбейме векторлардың аралас көбеймеси деп аталады (ab с түринде белгиленеди) хәм ол модули бойынша өлшемлери сол векторлар болған параллелипедтиң көлемине тең болади: V = ±(aх b)• с.
Қәсийетлери:
(a X b с = a (b X с ) ab с = b с a = с ab; ab с =- ba с;
a_x a a_z xyz





abс = b b_v b xyz

; a, b

хэм с

векторларыниң компланарлиқ шәрти


ccc
xyz
ab с = 0.
Тегисликтеги туўрылар
Тегисликте Оху туўры мүйешли Декарт координаталар системасы анықланған болсин. Тегисликтеги фигураларди Улыўма F(x, y)= 0 түриндеги теңлеме менен аналитикалиқ ацлатыў мүмкин, бунда Ғ-берилген функцийа.
Туўры түсиниги анықланбайтуғын матeматиканиң дәслeпки түсиниклериниң бири, сонлиқтан оған аниқлама жоқ.

1. 
   Туўрыньщ Улыўма теңлемеси биринши тәртипли еки өзгериўшили сызықлы теңлеме:
   

Ax+By+C=0 (1)
бунда А, В, С - турақлылар. Дара жағдайлары:

1. 
   A = 0, B ф 0; By + C = 0, y = -C / B - бул Ox көшерине параллел туўры теңлемеси;
   
2. 
   A = 0, B ф 0; C = 0; By = 0, y = 0 - бул Ox көшериниң теңлемеси;
   
3. 
   A ф 0, B = 0; Ax + C = 0, x = -C / A - бул Оу көшерине параллел туўры теңлемеси;
   
4. 
   A ф 0, B = 0; C = 0; Ax = 0, x = 0 - бул Оу көшериниң теңлемеси;
   
5. 
   C = 0; Ax +By = 0, y = -Ax/B - бул координата басы О(0,0) ноқаты арқалы өтетуғын туўры теңлемеси.
   

2. 
   Туўрыньщ мүйешлик коеффициентли теңлемеси.
   

у=к х+б, бунда k = tga -Туўрыньщ мүйешлик коеффициенти, a - Туўрыныц Ох көшериниң оң бағити менен пайда ететуғин мүйеши, б-параметри дәслепки ордината деп аталады.

3. 
   Туўрыныц кесиндилердеги теңлемеси. — + — = 1, бунда а хәм ab
   

б параметрлери Туўрыныц сэйкес Ох хәм Оу көшерлеринен кесип ететуғин кесиндилериниң
узинлиқлары.

4. 
   Туўрыныц нормал' теңлемеси. xcosb + ysinb-p = 0, бунда р- координата басынан туўрыға түсирилген перпендикуляр (нормалдың) узинлығы, b -усы перпендикулярдың Ох көшери менен пайда ететуғин мүйеши.
   

Ax + By + C = 0 түриндеги теңлемени нормал түрдеги туўры теңлемесине алип келиў ушын ол теңлемениң еки жағин да нормалластириўши көбейтиўши M = ± = шамасына көбейтиў зәрүр,
A A² + B²
бунда ± белгисинен С салтаң ағза ббелгисине қарама қарсы таңлап алынады.

5. 
   Туўрылар дәстесиниң теңлемеси.
   

A1 (x1, y 1) ноқаты арқалы өтетуғын туўрылар дәстесиниң теңлемеси:
y-y₁ =k(x-x₁).
Еки A1 x + B1 y + C 1 = 0, A2 x + B2 y + C2 = 0 Туўрыньщ кесилисиў ноқаты арқалы өтетуғын туўрылар дәстесиниң теңлемеси:
a(A₁x+B₁y+C₁)+b(A₂x+B₂y+C₂)=0.
Егер a = 1 болса, онда дәстеде екинши туўры болмайды.

6. 
   Берилген ноқатлар арқалы өтетуғын туўрылар.
   

A1 (x1, y 1) ноқаты арқили өтетуғын туўрылар дәстесин y - y 1 = k(x - x1) теңлемеси менен аңлатилади, бунда k -қәлеген параметр.
A₁(x₁,y₁), B(x₂,y₂) ноқатлары арқалы тек бир ғана туўры өткериў мүмкин:
y-y₁ x-x₁ y₂ - y₁ x₂ - x₁
Берилген A₁ (x₁, y₁ ) ноқатынан туўрыға шекемги d аралық:
. . Ax₁ + By₁ + Cl
d = x1 cos b + y 1 sin b - p = , -.
A A² + B²

7. 
   Еки A1 x + B1 y + C 1 = 0, A2x + B2y + C2 = 0 Туўрыныц өз-ара жайласыўы.
   

7.1. Егер D =

A1
A 2

B1
B2

= 0 болса, онда бул туўрылар параллел болади хэм

1. 
   A = B = CA
   

A2 B2 C2
A1 B1 C1

2. 
   — = — ф —
   

A2 B2 C2

- бетлеседи,
- кесилиспейди.

2. 
   Егер D ф 0 болса, онда бул туўрылар бир (x, у) ноқатда кесилиседи
   

Dx x = —

- C1 B1
- C₂ B₂

DD

^D y ,^y=т

^A1 ^{- C} 1
A 2 - C 2
D

8. 
   Еки A₁x+B₁y+C₁ = 0, A₂x+B₂y+C₂ = 0 (ямаса y = k₁x+b₁, y = k₂x+b₂)
   

туўрыларыниң арасындағы мүйеш




tgj =

A1 B 2 - A 2 B1
A1 A 2 + B1 B 2

^k 2 ^{- k} 1
1 + k₁k₂

Бул формуладан еки туўрыныц:

2. 
   A1 / A2 = B1 / B2; k 1 = k2 -параллеллик шәртин,
   
3. 
   A1 A2 = B1 B2; k 1 =-1/k2-перпендикулярлиқ шәртин аламиз. Онда y = kx+b туўрысына перпендикуляр (нормал) туўрылар
   

y = - — + b₀ түринде жазылады, бунда b хәм b₀ - қәлеген турақлылар. k⁰

2. 
   Еки A1 x + B1 y + C 1 = 0, A2x + B2y + C2 = 0 туўрыларыниң арасындағы
   

мүйеш биссектрисасиниң теңлемеси
|A1 x + Bl y + C11 = ± A22 x + B2y + C2 I
A' + Bl A^A 2 + B 2
Тегисликтеги екинши тәртипли сызықлар
x хәм у координаталарға қарата екинши тәртипли теңлеме менен анықланған сызық екинши тәртипли сызық деп аталады. Егер иймек сызықтың ноқатлары базыбир ноқатға қарата симметрияли болса, бул иймек сызық орайлиқ сызық деп, ноқат - иймек сызықтың орайы деп аталады.
Екинши тәртипли иймек сызықлардың каноникалық теңлемелерин, яғный бул иймек сызықтың орайы ямаса ушын координаталар басында, симметрия көшерлери координата менен бетлесетуғин жағдайды қарастырамыз.
Бирнеше өзгeриўшиниң биртекли екинши тәртипли көпағзалысы бул өзгериўшилердьщ Квадратлық формаси деп аталады:
Ax⁹ +2Bxy+Cy² +2Dx+2Ey+F=0 (1)
(1) теңлеме кооффициентлеринен еки аниқлаўшыны d - үлкен ағзаларыниң дискриминанти хәм D - теңлеме дискриминантин дүземиз:

ABD AB d= ,D=B C E. BC DEF d хәм D мәнислерине қарата (1) теңлеме аниқлайтуғын геометрийалиқ образди билиў мүмкин:
		\ф 0	D = 0
	d > 0	Эллипс	Ноқат
	d < 0	Гипербола	Кесилисиўши туўрылар
	d = 0	Парабола	Параллел туўрылар

1. Шеңбер.
Орайы С (a; b) ноқатысинан Р (Р>0) қашиқлықта жайласқан тегисликтиң барлық ноқатларының геометрийалиқ Орын и шеңбер деп аталады хәм ол (x - a)² +(y - b )² = R² теңлемеси менен аналитикалиқ аңлатилади. Орайы координата басы О(0,0) ноқатында жайласқан, радиусы Р-ге тең болған шеңбер x² + y² = R ² теңлемесине ийе болади. Шеңбер төменде аниқланатин эллипстиң дара жағдайи болып табылады.
Анықлама. Эллипс деп тегисликтеги сондай ноқатлардың көплигине айтылады, бул ноқатлардың хәр биринен усы тегисликтиң фокуслары деп аталыўши еки F1, F2 ноқатларына шекемги болған қашықлықлардың қосиндиси турақлы шама болса. М(х, у) эллипстиң қәлеген бир ноқаты болса, онда |F1M| + F2М\ = 2a, бунда а-қәлеген турақлы сан.
Эллипстиң каноникалық теңлемеси:
22


(2)
x² y²
—- + ^— = 1
22
ab
бунда а хәм б - белгили турақлылар. Эллипс ноқатлары координата басына қарата симметрияли. Координаталар басы (2) эллипстиң симметрия орайы, координата көшерлери оның симметрия көшерлери болади. Эллипс ордината көшерин B1 (0; b) хэм B2 (0; -b) ноқатларында, абсцисса көшерин A1 (a;0) хәм A₂ (- a;0) ноқатларында кесип өтеди. Эллипстиң симметрия көшерлери менен кесилисиў ноқатлары ушлары деп аталады. Эллипстиң ушларыниң арасындағы аралық A1 A₂| = 2a, B1 B₂| = 2b эллипс көшeрлeри дeлинeди.
Көшeрлeрдeн ү.шчіи - эллипстиң үлкен көшeри дeп, екиншиси - эллипстиң киши көшери деп, а хәм б параметрлери ярым көшерлер деп аталады.
х хәм у координаталарының өзгериў области: - a £ x £ a, - b £ y £ b.
Эллипс симметрияли болғанлиқтан они тек ғана биринши шеректе тексериў жеткиликли. Биринши шеректеги эллипстиң теңлемеси:
y = — a а² - x² .
a
a > b болсин. c = a а² -b² деп белгилеймиз. F1 (c;0) хэм F₂(- c;0) ноқатлары эллипстиң фокуслары деп аталады. F1 F₂| = 2c - эллипстиң фокус аралығы делинеди. Эллипстиң фокуслары жайласқан үлкен көшер фокал көшер деп, r1 = |MF11 хэм r₂ = |MF₂1 шамалары фокал радиуслар деп,
e = — (0 < e < 1) шамасы эллипстиң ексцентриситети деп аталады. a
x = a / e хэм x = -a / e туўры сызықлары эллипстиң директрисалары делинеди.
Эллипстиң қәлеген М ноқатынан F1 (ямаса F₂) фокусына шекемги болған аралық пенен дирекстрисаға шекемги d₁ (ямаса d₂) аралық қатнаси турақлы шама e ға тең болади: e = — = —.
d1 d2

3. 
   Гипербола.