I –Өзбетинше жумыс

Теорема. Ҳәр қандай А меншиксиз матрыцасының кери матрыцасы бар ҳәм бирден бир болады.

3. 
   Сызықлы теңлемелер системасы
   

Мейли үш белгисизли
а1 х + Ь1 у + С1 z = d1,
< a2 X + b2y + C2Z = d2, (6)
a₃ X + b₃ y + c ₃ z = d3 теңлемелер системасы берилген болсын.

x, y, z белгисизлериниң алдындағы коэффициентлеринен дузилген







D=

a₁
a₂

a₃

b₁ b₂ b₃

c₁
c₂
c₃

(7)

үшинши тәртипли анықлаўыш (6) системаның бас анықлаўшы деп аталады. (7) анықлаўыштьщ биринши бағанасын (6) системаның салтан ағзалары менен алмастырыў нәтийжесинде биринши жәрдемши анықлаўышқа ийе боламыз, оны Dх арқалы белгилеймиз. (7) анықлаўыштыщ екинши бағанасын (6) системаның салтан ағзалары менен алмастырыў нәтийжесинде екинши жәрдемши анықлаўышқа ийе боламыз, оны Dy арқалы белгилеймиз. (7) анықлаўыштыщ үшинши бағанасын (6) системаның салтан ағзалары менен алмастырыў нәтийжесинде үшинши жәрдемши анықлаўышқа ийе боламыз, оны D_z арқалы белгилеймиз.
Егер (6) системаның бас анықлаўшы, яғний (7) анықлаўыш, нолден

z = Dz-
D

(8)
өзгеше болса, онда (6) системасы
Dx Dy
x = —; y = —;
DD
формуласы менен анықланатуғын бирден бир шешимге ийе болады. (8) формула Крамер формуласы деп аталады.
Егер системаның бас анықлаўышы D = 0 болса ҳәм D х, D у, D_z анықлаўышлардан кеминде биреўи нолден өзгеше болса, онда (6) системасы шешимге ийе болмайды. Егер D = 0 ҳәм D_x = 0, Dy = 0, D_z = 0 болса, онда (6) системасы ямаса шешимге ийе болмайды, ямаса шексиз көп шешимге ийе болады.
(6) системасының коэффициентлеринен, x, y, z белгисизлеринен ҳәмде салтан ағзаларынан

	fal bl cl1		f x >		f d, 1
А=	a 2 b 2 c 2	, X =	y	B =	d 2
	< a 3 b 3 c 3 0		1^z 0		< d 3 0

(9)
матрицаларын дуземиз . Онда

	fa1 b1	c1 c1		f x 11	f a1 x + b1 y + c1 z 1
А • X =	a 2 b 2	c2	•	x 2	= a 2 x + b 2 y + c 1 z
	4 a 3 b 3	^c3 0		< x 3 0	^ a 3 x + b 3 y + c 3 z0 333

A • X = B
теңлиги орынлы.
(9) теңлемеси (6) теңлемелер системасының матрыцалық көринисде жазылыўы болады. Мейли (6) системасының (7) анықлаўышы нолден өзгеше болсын. Онда жоқарыда келтирилген А матрыцасының кери матрыцасы бар болады:

	^A11 ^A 21 ^A 31 D D D
A -1 =	^A12 ^A 22 ^A 32 D D D AA A ^13 ^23 3-33 D D D

(9) теңликтиң ҳәр еки тәрепин A ¹ матрыцасына көбейтирип, A ¹ AX = A ¹B
теңлигин табамыз. Егер A-¹AX = (A-¹A)X = EX = X болыўын итибарға алсақ,

(10)
онда матрыцалық көринисде жазылған (4) теңлемесиниң шешими
X = A-¹B
теңлиги арқалы анықланады.









A “1 • B =

( A
Aii
D

A²
/D'

A 21
D
A 22
D
A 23
D

A A
A 31

D
A 32
D
A₃₃

(1 A
-(bi An + b 2 A 21 + b 3 A 31)
V^{( b}1 ^A12 ^{+ b} 2 ^A 22 ^{+ b} 3 ^A 32) ^D
!(b1 A 32 + b 2 A 23 + b 3 A 33)

-x
D
D
-y-
D
D z

(xA

Егер X = y
екенин итибарға алсақ онда, (10) теңлигин төмендегише жазыў мумкин:
_x
D
D
-y
D
D
T
\ 0
Кейинги теңликтен
z=Dz
D
болатуғынлығы келип шығады.
n белгисизли сызықлы теңлемелер системасын n ның улкен (n > 4) мәнислеринде Крамер усылы менен шешиў бирнеше жоқары тәртибли анықлаўышларды есаплаўды талап етеди. Сол себебтен, бундай системаларды шешиўде Гаусс усылынан пайдаланыў мақсетке муўапық болады. Бул усылда белгисизлер избе из жоғатылып система ушмүйешлик көринисине алып келинеди. Егер система ушмүйешлик көриниске келсе, онда ол бирден бир шешимге ийе болады ҳәм оның белгисизлери аҳырғы теңлемеден баслап табып барылады.
Система шексиз көп шешимге ийе болса, белгисизлер избе из жоғатылғаннан кейин, ол трапеция көринисине келеди.
Мысал:
x 1 + x 2 + 5 x 3 + 2 x 4 = 1,
X i + x 2 + 3 x 3 + 4 x 4 = —3, ^{^} 2x 1 + 3x₂ + 11 x3 + 5x4 = 2, 2 x 1 + x 2 + 3 x 3 + 2 x 4 = —3 сызықлы теңлемелер системасын Гаусс усылы менен шешиң. Шешилиўы: Берилген системаның екинши, ушинши, төртинши теңлемелеринен x₁ лерди жоғатамыз. Буның ушын системаның биринши теңлемесин избе из — 1, — 2, — 2 санларына көбейтемиз ҳәм системаның сәйкес екинши, ушинши, төртинши теңлемелерине қосамыз. Нәтийжеде, x 1 + x ₂ + 5 x 3 + 2 x 4 = 1, 2 x 3 — 2 x 4 = 4,
x ₂ + x 3 + x 4 = 0,
— x 2 — 7 x 3 — 2 x 4 = —5

ямаса	x 1 + x 2 + 5 x 3 + 2 x 4 = 1,
1	x 2 + x 3 + x 4 = 0, x 2 + 7 x 3 + 2 x 4 = 5, x 3 — x 4 = 2

системасына ийе боламыз. Кейинги системада ушинши теңлемеден екинши

теңлемени айырамыз.	x 1 + x 2 + 5 x 3 + 2 x 4 = 1,
1	x 2 + x 3 + x 4 = 0, 6 x 3 + x 4 = 5, x 3 — x 4 = 2

Буннан төртинши теңлеменсин — 6 ға көбейтирип, ушынши теңлемеге қоссақ ушмүйешли система пайда болады:


x₁ + x₂

x₂
+ 5 x₃ + 2x ₄ = 1
+ x₃ + x₄ = 0,
x₃ — x₄ = 2,
7x₄ =—7
буннан
x₄ = —1,
x₃ = 2 + x₄ = 1,
x₂ = — x₃ — x₄ = 0,
x₁ = 1 — x ₂ — 5 x ₃ — 2 x ₄ = —2
Солай етип x₁ = -2, x₂ = 0, x₃ = 1, x₄ = -1.