I –Өзбетинше жумыс

2.Избе-изликтиң шеги. Функция шеги.
Анықлама: Натурал санлар көплигинде анықланған функция санлы избе-излик делинеди ҳәм {x_n } коринисте белгиленеди.
Егер, сондай M оң саны бар болып, ҳәр қандай n натурал саны ушын
|xn| £ M теңсызлиги орынлы болса {x_n } шеғараланған избе-излик деп аталады.
x_n +₁ > x_n теңсизлиги орынлы болса, {x_n } осыўшы избе-излик деп аталады. Кери жағдайда x_n+₁ > x_n болса, кемейыўшы избе-излик деп аталады.
Осыўшы ямаса кемейиўши избе-излик монотон избе-излик деп аталады.
Егер "e > 0 саны ушын сондай N = N(e) > 0 саны бар болып, барлық n > N лер ушын |x_n - a\ < e теңсызлиги орынлы болса, a саны {x_n } избе-излигиниң шеги деп аталады. Ҳәм Цтx_n = а турынде
n ®<х белгиленеди.
Егер {x_n } избе-излиги шекли шекке ийе болса, ол жыйнақлы болады, кери жағдайда таралыўшы избе-излик деп аталады.
Хәр қандай избе - излик шеғараланған ҳәм монотон болса, онда ол шекли шекке ийе болады .
Анықлама: Егер ҳэр қандай e > 0 саны ушын сондай 5 = 5(e) > 0 саны бар болып, |x - а\ < 5 теңсизлигин қанаатландырыўшы барлық x лар да
\f (x) - b < e теңсызлиги орынлы болса, b саны f (x) функциясының x ® a дағы шеги деп аталады ҳәм Цт f (x) = b туринде жазылады.
x ® a f (x) функциясының a точкасындағы шеп ҳәм оң шеклери деп, сайкес турде
f(a-0)= limf(x) f(a+0)= limf(x)
x®a-0 x®a+0
санларына айтылады .
f (x) функциясының x ® a дағы шеги бар болыўы ушын f(a-0)=f(a+0) болыўы зәрур ҳәм жеткиликли.
Шеклердың қасийетлери:
1)limC = C , x ® a

+¥)) 42

0¥
Бул шәртлер орынланса , онда - ,— ,0 •¥ коринисиндеги аңық
0¥
емесликлер пайда болыўы мумкин. Бул аңық емесликлер айырым
жағдайларда алгебралық алмастырыўлар жәрдеминде ашылады.
Копшилик шеклерди табыўда төмендеги белгили формулалардан пайдаланылады:
limsin” = 1 -биринши әжайып шек; a®0 a
lim⁽¹+1) x = lim⁽¹ + a)^a = e - екинши әжайып шек;
x ®x ^x a ®0

3. 
   Туўынды ҳәм дифференциал.
   

y = f (x) функциясының x₀ точкасындағы өсими Dy тың аргумент
өсими Dx ға қатнасының Dx нольге ымтылғанда шекли шеги бар болса, бул шек y = f (x) функцияның x₀ точкасындағы тыўындысы делинеди ҳәм төмендегише белгиленеди: y , f (x), dy, df- dx dx
Яғный f'(xо) = limDy = lim^{f(x0 +}Dx) ^f(x0) турынде болады.
Dx®0 Dx Dx®0 Dx
Туўындылар таблыцасы:

	Функция	Тууындысы	Функция	Тууындысы
1.	у = c	у ' = 0
2.	у = x^n у = xx	у' = nx^n^-^1 у '=1 2v x	у = x 1 у = - x	у ' = 1 у ' = -— x^2
3.	у = ax	у' = a^x ln a	у = e^x	у ’ = e^x
4.	У = ^l0g a ^x	у ' = -ү- x In a	у = ln x	у ' =^1x
5.	у = sin x У = tgx	у' = cosx у '= -12- cos x	у = cos x у = ctgx	у' = - sin x у ' = - -^ғ- sin x
6.	у = arcsin x у = arctgx	^у 71 - x^2 у '= 1 +^1 x 2	у = arccos x у = arcctgx	^у 71 - x^2 ^у =^- 1 +x’2
7.	у = shx у = thx	у' = chx у ' = ch x	у = chx у = cthx	у' = shx у ’ = —1г~ sh^2 x

Анық емесликлерди ашыўдьщ Лопиталь қағыйдасы (0
туриндеги) f(x) ҳәм j(x) функциялары x₀ точкасының қандайда бир дөгерегинде ( x₀ точкасының өзыннен тысқары) дифференциалланыўшы ҳэм j(x) * 0 болсын.
Егер limf(x)=limj(x)=0 limf(x)=limj(x)=¥ болып ,
x® x₀ x ®x₀ x® x₀ x ®x₀
''
ІІт^Цг баР болса , онда lim^-77 = lim4^ болады .
_x®_x0 j (x) _x®_x0 j (x) _x®_x0 j (x)
y = f(x) функциясының x₀ точкасындағы қандайда бир дөгерегинде
(п +1) -тәртыпке шекемги туўындыларына ийе болса, бул дөгеректиң ҳәр қәндай х точкасы ушын
„x f, ₀ f'(x₀)z \ f"(x₀)z Ч2 fn(x₀)z nn
^{f (x)} » ^{f (x}0) ⁺ —(x ^- x0) ^{+ (}x ^- x0) ⁺... ⁺ Г^⁽x ^- x0)
1! 2! n!
п -тәтыпли Тейлор формуласы орынлы.
Дара жағдайда егер x₀ = 0 болса, онда жоқарыдағы Тейлор формуласы
f (x) » f (0) + x + fM x 2 +... + x
1! 2! n!
п -тәтыпли Маклорен формуласына ийе боламыз.
Айырым элементар функциялардың Маклолрен қатиарына жайылыўы

Функция	Маклорен көпағзалығы	Қалдық ағза
Pn ^(x )	Pn ^(^x )	0
(1 + x)^a, a ■*■ N	a a(a -1) 2 a(a - 1)...(a - n +1) n 1 + ax + — x x^1 +... + — ^2 xn 2! n!	o^(xn)
sin x	v3 5 2 n+1 x x n n n n x x + + ... + ( 1) Z Ҳ 3! 5! ^v ( (2n +1)	o (x^2^n^+^2)
cos x	v2 4 2 n x x x n n n n x 1 + + ... + ( 1) , 4 2! 4! ( ’ (2n)	o (x^2^n^+^1)
arcsin x	1 3 1 • 3 5 (2 n) 2 n+1 x + x ^3 + x^5 +... + z x x ^2^n 2 • 3 2 • 4 • 5 2^2^n (n!)^2 (2 n +1)	o (x^2^n^+^2)
arctg x	v3 5 2 n+1 x - x- + x- - ...(- 1)x 3 5 ^v ' 2 n +1	o (x^2^n^+^2)
e^x	x^2 x^3 x^n 1 + x + l +... + 2! 3! n!	o^(x^n)
chx	x^2 x^4 x^2^n 1 + + + ... + z 4 2! 4! (2 n)	o (x^2^n^+^1)
shx	v3 5 2 n+1 x x x x + + +... + / x 3! 5! (2 n +1)!	o (x^2^n^+^2)
ln (1 + x)	V^2 1-3 n^n x - x- + x- - ...(- 1)^n^-^1 x- 2 3 ^x ' n	o^(x^n)