I –Өзбетинше жумыс

Анықлама. a1,a₂,...,an векторлар системасы ушын кеминде биреўи нолден өзгеше сондай l₁,l₂,...,ln санлары бар болып, векторлардың сызықлы комбинациясы нолге тең, яғный
l₁ a₁ + l₂ a₂ + ... + l_n a_n =0 (1)
болса, онда a1,a2,...,an векторлар системасы сызықлы ғәрезли система деп аталады. Кери жағдайда a1,a2,...,an векторлар системасы сызықлы ғәрезсиз система деп аталады, хэм олар ушын (1) теңлик тек ғана l₁ = l₂ = ... = l_n = 0 болғанда орынланади.
Егер n дана a1,a2,...,an векторлары сызықлы ғәрезли болса, онда бул векторлардың кеминде биреўи қалғанларыниң сызықлы комбинациясы менен авдатыў мүмкин. Буған кери тастийиқлаў хәм Орынлы, егер векторлардың биреўи қалған векторлардың сызықлы комбинациясы арқалы аңлатылса, онда бул векторлар сызықлы ғәрезли. Кери жағдайда бул векторлар сызықлы ғәрезсиз болади.
Анықлама. Қәлеген a векторын н дана e1,e2,...,en векторларыниң сызықлы комбинациясы арқалы авдатыў мүмкин болса, онда бул векторлар кеңисликтиң базиси деп аталады.
Базисти дүзетуғин векторлар саны кеңисликтиң өлшеми деп аталады. Туўрыдағи (E¹) қәлеген бирлик e (ямаса e1) вектори, тегисликте (E²) оған тийисли қәлеген коллинеар емес бирлик e1, e2 векторлары, үш өлшемли кеңисликте (E³) қәлеген компланар емес бирлик e1,e2,e3 векторлары базис дүзеди. Оxуz кеңислигиндеги туўры мүйешли координаталар системасында базис ретинде көшерлердың хәр биринде бағити көшердың оң бағити менен бетлесиўши бирлик i, j, k векторлары алынады хэм олар ортлар деп аталады.
Базис векторлары арқалы сол кеңисликтеги қәлеген векторди сызықлы авдатыў мүмкин. Мисалы, a e E³ болса, онда a = a 1 e1 + a2 e2 + a3 e3 түринде авдатыў мүмкин, бунда a1, a2, a3 e R хақыйқый санлар.
Кеңисликте базыбир l туўрыси хәм AB вектори берилген болсин. А хэм В ноқатларынан туўрыға перпендикуляр лар түсиремиз, олардың l туўрыси менен кесилисиў ноқатларын сәйкес A1 хәм B1 арқалы белгилеймиз. A₁B₁ векторы AB ниң l туўрысиндағи дүзиўшиси ямаса компонентаси деп аталады. AB ниң l туўрысына проекцияси: Пр_ЛAB=±A1 B1|. Қәсийетлери:
Пр la = |a| cos j; Пр 1 (a + b )=Пр la +Пр lb; Пр i la = l Пр la, бунда j - берилген l туўрыси менен a векторын иң арасындағы мүйеш, l-қәлеген сан.
a = OA векторын иң Оxуz кеңислигиниң көшерлерине проекцияларын ax, ay, az (бул санлар a ниң Оxуz теги координаталары делинеди) арқалы белгилесек, онда
a = a_xi+a_y j+a_zk түринде координата ортлары бойынша жайып жазыў мүмкин: a = (ax; ay; az). Бул жағдайда OA вектори r арқалы белгиленеди хэм А точкасының радиус-вектори деп аталады.
^Erep A (x1, y1, z 1)^, B (x 2, y 2, z 2)^, a = (ax; ay; az ), b = (bx; by; bz)
координаталары менен берилсе, онда AB = (x₂ - x1, y₂ - y 1, z₂ - z 1), a±b = (ax ±bx;a_v ±b,;,a₇ ±b₇1 la = (la_r;la,;la₇).
x xy yz z x y z
Вектордың бағитлаўшы косинусларыниң квадратларыниң қосиндиси бирге тең:
cos²a+cos²b+cos²g =1.
Векторлардың скаляр, векторлық хәм аралас көбеймеси
Анықлама. Еки a = (a_x; a_y; az) хәм b = (b_x; by; bz) вектордың скалйар көбеймеси деп, бул векторлар узинлиқлары хәм олардың арасындағы j мүйеш косинусыниң көбеймесине тең болған скалйарға (санға) айтылады хәм a ■ b түринде белгиленеди.
a ■ b = am\ cos j = ab + ab + a₇b₇.
xx y y zz
Қәсийетлери: a■ b = b■ a; (l ■ a)■ b = l ■(a ■ b), a ■{b + c)= a■ b + a■ c,
|-|² 1-1 /2 1-1 / 2 2 2 a ■ b axbx ⁺ ayby ⁺ azbz
a■ a = a , a = aa ; a = aa_x ⁺ a_y ⁺ a_z^; cos^j = „= 2
iai ■ b a2t_x + a_y+a_{z v}b + by + bz
a ± b & axbx + a_vb_v + ab = 0 .
xx yy zz
Үш вектор дан туратуғын система белгили бир тәртипте берилген, яғный олардың қайсиси биринши, қайсиси екинши хәм қайсиси үшинши екенлиги көрсетилген болса, онда бул векторлар системасы тәртипленген деп аталады. Тәртипленген векторлар үшлигин бир Улыўма басланиў ноқатына келтиремиз. Компланар болмаған тәртипленген векторлар үлшигинде үшинши вектор ушынан қарағанда биринши вектор екинши векторға ең қисқа болған аралығы саат тилиниң айналыў бағитина қарама-қарсы бағит болса, онда олар он үшлик деп аталады. Кери жағдайда векторлар үшлиги шеп үшлик деп аталады.
Анықлама. a = (a_x; a_y; az) b = (b_x; by; bz) векторларының векторлық көбеймеси деп төмендеги шәртлерди қанаатландыратуғын c векторын а айтылады (c = a x b түринде белгиленеди):

1. 
   c вектори a хәм b векторларына перпендикуляр;
   
2. 
   a, b, c векторлары оң үшлик дүзеди;
   
3. 
   c векторын иң узинлығы |a| ■ |b| sin j санына тең (j - бунда a хэм b векторларыниң арасындағы мүйеш), яғный c векторын иң модули a хәм b векторларынан жасалған параллелограммниң майданына тең.
   

сс

оң үшлик
шеп үшлик



Қәсийетлери:
a х b = - b х a;

(la)хb = l{aXb), ax(b + с)=







aXb=

i
a_x b_x

^j ay by

k
a_z bz