I –Өзбетинше жумыс

Кеңисликтеги екинши тәртипли бетлер
Кеңисликтеги екинши тәртипли теңлемелер. Квадратлық форма. Екинши тәртипли бетлердың каноникалық теңлемелери сфера, цилиндрлер, айналыў бетлери (эллипсоид, гиперболоид, параболоид). Конуслық бетлер.
Кеңисликтеги бет үш өзгериўшини x, у хәм z лерди байланыстыратуғын теңлеме менен аниқланады. х, у хәм з лерге қарата екинши тәртипли алгебралық теңлеме менен анықланған бет екинши тәртипли бет деп аталады. Улыўма теңлемеси:
Ax² +By² + Cz² +2Dxy +2Exz + 2Fyz +ax +by +cz + d = 0 (1)
бунда А, Б, C, Д, E, Ғ коеффициентлердың кеминде биреўи нолден өзгеше деп уйғарылады. А, Б, C, Д, E, Ғ, а, б, c, д коеффициентлердың байланисли бул теңлемелер түрли бетлерди аниқлаўи мүмкин.
Сфера. (1) теңлемеде A = B = C = 1, D = E = F = a = b = c = 0, d = -R² түринде алинса, онда орайы координата басында болған Р радиусли сфераниң x² + y² + z² = R² теңлемесине ийе боламиз.
Анықлама. Орайы C(x₀;y₀;z₀) ноқатысинан R (R > 0) қашиқлықта жайласқан кеңисликтиң барлық ноқатларының геометрийалиқ Орын и сфера деп аталады хәм ол (x - x 0 )² +(y - y ₀ )² +(z - z ₀ )² = R² теңлемеси менен аналитикалиқ аңлатилади.
Бул теңлеме (1) теңлемеден
A=B=C=1, D=E=F=0; a=-2x₀;b=-2y₀;c=-2z₀; d=x₀² +y₀² +z₀² -R²
0 0 0 000
түринде алинса келип шығады.
Сфера төменде анықланатуғин эллипсоидтиң дара жағдайы болып табылады.

1. 
   Жасаўшылары координата көшерлериның бирине параллел болған бетлер. Базы бир сызықты кесип өтиўши сызықтың усы сызық бойлап хәм берилген бағытқа параллел хәрекетинен пайда болған бет цилиндрлик бет делинеди. Хәрекетлениўши туўры сызық жасаўшы деп, берилген сызық бағытлаўшы деп аталады.
   

z координатам өз ишине алмайтуғын хәм кеңисликте қарастырылатуғын F(x; y)= 0 теңлеме менен жасаўшылары Oz көшерине параллел хәм бағытлаўшысы Оху тегислигинде берилген теңлеме менен сыпатланатуғын цилиндрлик бетти анықлайды. Усыған уқсас F(x;z)= 0 хәм F(у; z) = 0 теңлемелери жасаўшылары сәйкес Оу хәм Ox көшерлерине параллел болған цилиндрлик бетлерди анықлайди.
Мисалы,

1. 
   Дөңгелек цилиндр. x² + z² = R² теңлемеси менен аңлатылады. Оның симметрия көшери Оу, ал Oxz тегислигиндеги бағытлаўшысы шеңбер болады;
   

22
xy

2. 
   Эллипслик цилиндр — + = 1. Жасаўшылары Oz көшерине
   

a² b²
параллел, Оху тегислигиндеги бағытлаўшысы - эллипс;
22
xy

3. 
   Гиперболалық цилиндр --■<— = 1. Жасаўшылары Oz көшерине a² b²
   

параллел, Oxy тегислигиндеги бағытлаўшысы - гипербола;

4. 
   Параболалық цилиндр y² = 2z. Жасаўшылары Ox көшерине параллел, Oxz тегислигиндеги бағытлаўшысы - парабола.
   

2. 
   Айналыў бетлери: а) Оуз тегислигинде F(y,z) = 0 теңлемеси менен берилген L сызығы н Оу көшер дөгерегинде айналдирилғанда пайда болған бет теңлемесин алыў ушын бул сызық теңлемесиндеги з өзгериўшисин ± Хх² + z² қа өзгертип, у ти өзгериссиз қалдирамиз.
   

2. 
   Oxz тегислигиндеги сызықты Ox көшери дөгерегинде айналдырыўдан пайда болған бет теңлемесин алыў ушын з ти ± -]у² + z² қа өзгертип, x ти өзгериссиз қалдирамиз.
   
3. 
   Oxz тегислигиндеги сызықти Oz көшери дөгерегинде айналдырыўдан пайда болған бет теңлемесин алыў ушын ± Хх² + z² қа өзгертип, з ти өзгериссиз қалдирамиз.
   
4. 
   
   Oz көшери дөгерегинде айналдырсақ, бир пәллели
   х2 2 z2
   гиперболоиди келип шығады. Улыўма түри — + — = 1.
   a² b² c²
   Oy3 тегислигиндеги сызықти Oz көшери дөгерегинде айналдырыўдан пайда болған бет теңлемеси алыў ушын у ти ± Хх² + у² қа өзгертип, з ти
   

өзгериссиз қалдырамиз. Буларды Улыўмаластирип таблицада көрсетиў мүмкин:
	Иймекликтиң теңлемеси	Айланиў көшери	Айланыў бетиниң теңлемеси
	F (х; y )= 0 z = 0	Ox	F(x,д/y^2 + z^2 )= 0
		Оу	F(Vx^2 + z^2,y )= 0
	F (х; z )= 0 y = 0	Ox	F(x,д/y^2 + z^2 )= 0
		Oz	F(Vx^2 + y^2, z )= 0
	F^(y; z ) = ^0 x = 0	Оу	F(y, д/x^2 + z^2 )= 0
		Oz	F(Vx^2 + y2, z )= 0
Мисалы, Айналыў эллипсоиды. Oz дөгерегинде Oxz тегислигиндеги эллипсти 22 222 х^2 z^2 х^2 + y^2 z^2 айналдирсақ келип шығады: — + — = 1 ^ А—+ —= = 1. a^2 b^2 a^2 b^2 222 х^2 y^2 z^2 Улыўма эллипсоид — + 2-— + — = 1. a^2 b^2 c^2 22 Гиперболоид. Oyz тегислигиндеги — = 1 гиперболаны: b^2 c

222 х +y z = 1


b² c²



Оу көшери дөгерегинде айналдырсақ еки пәллели


2 22
y x +z
= 1
b² c²
x2 2 z2
гипeрболоидs келип шығады. Улыўма түри — + — = = -1.
a² b² c²

3. 
   Параболоид. Оуз тегислигиндеги y² = 2pz Параболаны Oz көшери дөгерегинде айналдирип айналыў x² + y² = 2pz параболоидин алыў мүмкин.
   

22
Еллиптик параболоид: — + — = 2z, (pz > 0).
pq
x2 2
Гиперболық параболоид: — = 2z .
pq

3. 
   Конуслық бетлер.
   
4. 
   сызықлы бетлер. Туўры сызықтың хәрекетлениўинен пайда болған бет сызықлы бет деп, онда жататуғын туўры сызықлар жасаўшылар деп аталады.
   

Екинши тәртипли цилиндрлик хәм конуслық бетлер, гиперблолоидлар сызықлы бетлердың мысалы болып табылады.
МАТЕМАТЫКАЛЫҚ АНАЛИЗГЕ КИРИСИЎ
1.Элементар функция
Анықлама: Егер x өзгериўшисиниң қандайда бир D коплигинен алынған ҳәр бир мәнисине қандайда бир E коплигинен алынған y өзхгериўшисиниң бирден - бир анық маъниси сайкес қойылған болса онда y өзгерыўшиси x өзгерь^шисиң функциясы делинеди ҳәм
y = f(x) , y =y(x) , y = j(x) түринде белгиленеди.
x өзгерыўшисиныц f(x) функциясы мәниске ийе болатуғын мәнислери көплиги функцияның анықланыў областы делинеди. Ол D(f) коринисинде белгиленеди. Дара жағдайда x = x₀ y₀ = f(x₀) y|x=x = y₀ .
Функция қабыл ететуғын мәнислери көплиги оның өзгериў
областы деп аталады ҳәм ол E(f) коринисинде белгиленеди .
Егер у = f(x) функциясы D(f) областын E(f) областына оз ара бир мәнисли саўлелендирсе , онда x ты y арқалы бир мәнисли шиатыў мумкин:
x = j( y ) .
Пайда болған функция у = f (x) функциясына кери функция деп аталади. у = f (x) ҳәм x = j(y) функциялары оз ара кери функциялар болады.
Адетте, кери x = j(y) функциясы x ҳәм y тың орынларын
алмастырыў нәтийжесинде стандарт коринисте жазылады.
y = j(x)
Егер f (-x) = -f (x) ямаса f (-x) = f (x) теңликлер орынлы болса, онда f (x) функциясы сайкес турде тақ ямаса жуп функция деп аталади кери жағдайда функция жуп ҳәм емес тақ ҳәм емес болады.
Егер T > 0 турақлы саны бар болып, ҳәр бир x e D(f) ҳәм
(x + T) e D(f) ушын f (x + T) = f (x) теңлиги оррынлы болса, онда f (x) функциясы T периодли функция делинеди.
Төмендеги функциялар тыйқарғы элементар функциялар деп аталады.

1. 
   y = x^a дэрежели функция, бунда a e R ; анықланыў областы
   

D(f) ҳәм мәнислер областы E(f) a ға байланыслы болады.

2. 
   y = a^x корсеткичли функциясы, бунда a > 0, a ф 1, D(f) = R,
   

E(f) = (0,+¥).

3. 
   y = log a x логарифмлық функция ,бунда a > 0 , a ф 1, D (f) = (0,+¥), E(f)=R.
   
4. 
   Тригонометриялық функциялар:
   

y=cosx, D(f)=R, E(f)=[-1;-1], T0=2p,
y=sinx, D(f)=R, E(f)=[-1;-1], T0=2p
„, _ I p , , _ I „
y = tgx, D (f) = j x * — + pk; k g Z, p E (f) = R , T== p .
у = f (x) функциясы базы-бир кесиндиде өсиўши (кемиўши) деп аталады, егер усы кесиндиге тийисли болған x₁ < x_— теңсизлигин қанаатландыўшы қәлеген x 1, x 2 точкалары ушын, f (x 1) < f (x ₂) (f (x 1) > f (x ₂)) теңсизлиги орынлы болса.
Егер f (x) функциясы [a; b] кесиндисинде үзликсиз ҳәм қәлеген a < x < b точкасында f'(x) > 0 (f'(x) < 0) теңсизлигин қанаатландырса, онда усы аралықта функция өсиўши (кемейиўши) болады.
Егер хо точкасының сондай дөгереги бар болып, қэлеген x ф x0 точкасы ушын усы дөгеректе f(x) > f(x₀ ) теңсизлиги орынлы болса, онда x₀ точкасы y = f(x) функциясының минимум точкасы, ал f(x₀) саны- y = f(x) функциясының минимумы деп аталады.
Егер х 1 точкасының сондай дөгереги бар болып, қэлеген x ф x 1 точкасы ушын усы дөгеректе f(x) < f(x₁) теңсизлиги орынлы болса, онда x₁ точкасы y = f(x) функциясының максимум точкасы, ал f(x₁) саны - y = f (x) функциясының минимумы деп аталады.
Максимум ҳәм минимум точкалары функцияның экстремум точкалары, ал функцияның максимумы ҳәм минимумы функцияның экстремумы деп аталады.
Егер x₀ точкасы f(x) функциясының экстремум точкасы болса, онда f'(x о) = 0 болады.
Бул шәрт экстремумның бар болыўыньщ зәрүрли шэрти деп аталады. Улыўма алғанда бул тастыйықлаўға кери болған тастыйықлаў орынлы емес:
f'(x 0) = 0 шэрти орынлы болатуғын xo точкасы функцияның
экстремум точкасы бола бермейди.