Integraldıń anıqlaması

2.10. Koshi teoreması

Koshi teoreması kompleks ózgeriwshili funkciyalar teoriyasınıń fundamental teoreması bolıp esaplanadı. Bul paragrafta usı teoremanı úyrenemiz.

2.10.1-teorema. (Koshi teoreması). Eger funkciya bir baylamlı oblastta golomorf bolsa, onda funkciyanıń oblastında jatıwshı hár qanday sıypaq (bólekli sıypaq) tuyıq iymeklik (tuyıq kontur) boyınsha integralı nol’ge teń boladı:





Dálilleniwi. Teoremanıń dálilleniwin bir neshe basqıshqa bólip keltiremiz.
a) iymeklik úshmúyeshlikten ibarat bolsın, . Bul úshmúyeshliktiń parametri ǵa teń dep alayıq. kerisinshe uyǵaramız, yaǵnıy
.
Meyli bolsın. úshmúyeshlikti onıń tárepleriniń ortaların tutastırıwshı tuwrı sızıq bólekleri járdeminde tórt, úshmúyeshliklerge ajıratıp alamız. Bul úshmúyeshlik konturları ushın 8-súwretten

8-súwret
, , ,
bolıp,
,
,
,

boladı. Sońǵı teńliklerdi aǵzama-aǵza qosıp tómendegige iye bolamız:

(2.36)
Eger
,
esapqa alsaq, onda (2.36) teńlikten


kelip shıǵadı. Bunnan

Bul teńsizlikten oń tárepindegi qosılıwshılardan birewi ten kishi bolmaydı, keri jaǵdayda

bolıp, ge uqsaǵan maǵanasız teńsizlik kelip shıǵadı.
Meyli bolsın, onda úshmúyeshlik úshmúyeshliklerden birewi hám onıń perimetri ge teń.
Endi, úshmúyeshlikti joqarıdaǵı usıl menen úshmúyeshliklerge ajıratamız. Bul úshmúyeshlikler arasında joqarıdaǵıǵa uqsas úshmúyeshlik tabılıp, boladı. úshmúyeshliktiń perimetri na teń. Bul processti sheksiz dawam ettirip, nátiyjede
(2.37)
úshmúyeshlikler izbe-izligin payda etemiz. (2.37) úshmúyeshlikler izbe-izligi ushın:

1. 
   
   
2. 
   úshmúyeshliktiń perimetri ge teń hám da .
   
3. 
   Hár bir úshmúyeshlik ushın
   

(2.38)
boladı.
1) hám 2) qatnaslardan barlıq úshmúyeshliklerge tiyisli bolǵan jalǵız noqat bar ekenligi kelip shıǵadı. Shárt boyınsha funkciyası noqatta golomorf. Demek, sanı alınǵanda sonday sanı tabılıp,
(2.39)
teńsizlikti qanaatlandırıwshı barlıq ushın
,
yaǵnıy

boladı.
Endi aldıńǵı lekciyadaǵı (2.37) hám (2.39) formulalar boyınsha hám niń jeterlishe úlken mánislerinde bolıwın hám (2.39) teńsizlikten,

(2.40)
iye bolamız. (2.38) hám (2.40) qatnaslardan kelip shıǵadı. Demek, . Bul teńsizlik dep alınǵan uyǵarıwımızǵa qarama-qarsı keledi (sebebi qálegen oń san). Qarama-qarsılıq bolmawı ushın bolıwı kerek. Solay etip, , yaǵnıy



boladı.
b) iymeklik kópmúyeshlikten ibarat kontur bolsın. Bul kópmúyeshlik shekli sandaǵı úshmúyeshliklerge ajıraladı hám integral bolsa, sol úshmúyeshlikler boyınsha alınǵan integrallar qosındısına teń boladı.
Úshmúyeshlik boyınsha alınǵan integrallardıń hár bir nol’ge teń bolǵanlıqtan, funkciyanıń úshmúyeshlik konturı boyınsha alınǵan integralı nol’ge teń boladı, yaǵnıy


.

v) iymeklik qálegen sıypaq (bólekli sıypaq) tuyıq iymeklik bolsın. Integraldıń 6⁰-qáciyeti boyınsha oblastqa tiyisli bolǵan sonday kópmúyeshligi tabılıp,

teńsizlik orınlı boladı. Bunda qálegen oń san. b) jaǵdayı boyınsha . Demek, , bunnan kelip shıǵadı. Teorema dálillendi.