Integraldıń anıqlaması

Sheshiliwi. Eger oblast’ bolsa, onda funkciyası oblastta golomorf boladı hám bolsın, onda Koshi teoreması boyınsha
.
2⁰. Dáslepki funkciya túsinigi.
Meyli funkciyası oblastta anıqlanǵan bolsın.
Eger oblastta funkciyası usı oblastta golomorf bolǵan funkciyanıń tuwındısına teń bolsa, yaǵnıy , bolsa, onda funkciyası oblastta funkciyanıń dáslepki funkciyası boladı. Eger oblastta funkciyası funkciyanıń dáslepki funkciyası bolsa, onda da ( -qálegen turaqlı kompleks san), funkciyanıń dáslepki funkciyası boladı.
Haqıyqatında da, .
Endi dáslepki funkciyanıń bar bolıwı haqqındaǵı teoremanı keltiremiz:
2.9.4-teorema. Eger funkciya bir baylamlı oblastta golomorf bolsa, onda funkciyası oblastta dáslepki funkciyaǵa iye boladı.
Dálilleniwi. oblastta hám qálegen noqatlardı alıp, olardı oblastqa tiyisli sıypaq (bólekli sıypaq) iymeklik penen biriktiremiz. Sonda integral ke baylanıslı boladı hám onı arqalı belgileymiz:
. (2.43)
Koshi teoremasınıń nátiyjesi boyınsha bul integral integrallaw jolına baylanıslı bolmaydı. Sonıń menen birge, funkciyası oblastta bir mánisli anıqlanadı.
Endi (2.43) funkciyanı oblastta berilgen funkciyanıń dáslepki funkciyası bolatuǵınlıǵın kórsetemiz.
noqatında ósim bereyik, noqat noqattıń oblastqa tiyisli jeterlishe kishi dógereginde jatsın. Onda funkciyanıń ósimi ushın tómendegi teńlikke iye bolamız:
.
Bul teńliktiń hár eki tárepin ke bolamız:


(2.44)
elementar teńlikten


(2.45)

boladı.

(2.44) hám (2.45) dan paydalanıp,


ańlatpaǵa iye bolamız.
Keyingi teńlikten
(2.46)
kelip shıǵadı.
Endi Koshi teoremasınıń nátiyjesinen paydalanıp, hám noqatların birlestiriwshi hám oblastına tiyisli sızıq sıpatında sol noqatlardı tutastırıwshı kesindini alamız. Onda diń segmentke tiyisli bolıwınan teńsizlikke iye bolamız.
funkciyası noqatta úzliksiz. Demek, sanı alınǵanda sonday san tabılıp, bolǵanda boladı. Solay etip, (2.46) teńsizlikten

Demek,

Bunnan
,
yaǵnıy kelip shıǵadı. Teorema dálillendi.
Meyli hám funkciyalardıń hár biri oblastta bir funkciya ushın dáslepki funkciya bolsın. Onda hám funkciyalar oblastta bir-birinen turaqlı sanǵa parıq etedi.
Haqıyqatında da, hám bolǵanlıqtan funkciya ushın , boladı.
Eger dep alınsa bolıp, funkciyanıń turaqlı ózgermes ekenligi kelip shıǵadı.
Demek,


(2.47)

funkciya oblastta funkciyasınıń dáslepki funkciyası boladı, bunda qálegen kompleks san.

(2.47) formula dáslepki funkciyanıń ulıwma kórinisin ańlatadı.
(2.47) teńlikten, dáslep dep , sońınan dep alıp

teńsizliklerge iye bolamız. Sońǵı teńlikten
(2.48)
kelip shıǵadı.
Ádette (2.48) formula N’yuton – Leybnic formulası dep ataladı.
Meyli hám funkciyaları oblastta golomorf bolsın. Sonda,
.
Bul teńlikti integrallap,

kelip shıǵadı. Sonda,

esapqa alsaq, onda

teńlikke keledi. Bul bóleklep integrallaw formulası boladı.
Mısal. integralın esaplap.
Sheshiliwi. Bizge belgili funkciyası pútkil kompleks tegislikte golomorf. Berilgen integral , noqatların birlestiriwshi jolǵa baylanıslı bolmaydı. Integrallaw iymekligi sıpatında tuwrı bólegin alamız. Bunda hám bolsa, onda
.
Demek, .