Ishning mavzusi: “ ” fakultet dekanining 20 yil dagi № sonli farmoyishi bilan yasdiqlangan. Ishning topshirish muddati

13-misol. tenglamani yeching.
Yechish. Tenglamaning aniqlanish sohasi (-∞,+∞).

va

bo’lgani uchun

yoki
.
Bu yerdan (44) ga asosan, , , va , , .


II-BOB. Trigonometrik tengsizliklarni yechish usullari.
2.1-§. Eng sodda trigonometrik tengsizliklarni yechish.
sinб>m, sinб<m, cosб>m, tgб>m, tgб<m, ctgб>m, ctgб<m kabi ko‘rinishdagi tengsizliklarni yechishda koordinatali aylanadan yoki trigonometrik funksiyalarning grafiklaridan foydalanamiz.
sinб>m tengsizlikni yechamiz, bunda -1<m<1. Birlik aylananing ordinatalari m dan katta bo’lgan nuqtalari y=m to‘g‘ri chiziqdan yuqorida joylashadi. Ular MBN yoyni hosil qiladi.

bu yoyga va nuqtalar kirmaydi. Shunday qilib, sinб>m tengsizlikning yechimi interval yordamida aniqlanadi. va у=sinx funksiya davriy funksiya bo‘lgani uchun berilgan tengsizlikning barcha yechimlar to’plamini

yoki

ko’rinishda yozamiz.
sinб>m tengsizlik m>1 da bajarilmaydi, m<-1 da esa barcha б larda bajariladi.
sinб<m tengsizlikni yechish б=-z o’rniga qo‘yish orqali yuqorida qaralgan holga keladi: sinz>-m. Uning barcha yechimlarini yozamiz:

arcsin(-m) =-arcsinm va z=б bo’lgani uchun berilgan tengsizlikning barcha yechimlari quyidagicha bo‘ladi:

a) cosa>m; b) cosб<-m tengsizliklarni yechamiz.
m>1 da tengsizlik yechimga ega emas, m<-1 da esa б ning barcha qiymatlari tengsizlikni qanoatlantiradi. Biz -1<m<1 bo’lgan holni qaraymiz.

yuqoridagi rasmga qaralganda m б<1 ga yoy mos keladi, bunda va lar x=m to’g‘ri chiziq bilan koordinatali aylananing kesishish nuqtalari, A(0) — hisob boshi nuqtasi. Demak, cosб>m tengsizlikning yechimi yoki yoki funksiya davri e’tiborga olinsa, bo’ladi.
b) cosa<m tengsizligini yechish almashtirish orqali yuqorida qaralgan tengsizlikka keltiriladi: cosz>-m.
Bundan

ni topamiz. va bo‘lgani uchun

bo’ladi.
tgб<m va tgб>m tengsizliklar yechimini topamiz.
Yechish. arctgm ta ’rifidan foydalanamiz.

nuqta EAC yarim aylanani va yoylarga ajratadi, bunda va . Undan E, , С nuqtalar chiqariladi. yoyda tgб<m, yoyda esa tgб>m tengsizlik bajariladi. Demak, tgб<m tengsizlikning yechimi

tgб>m tengsizlik yechimi esa

bo’ladi.
Shu kabi ctgб<m, ctga>m tengsizliklar yechimi mos ravishda
va
bo‘ladi.