Ishning mavzusi: “ ” fakultet dekanining 20 yil dagi № sonli farmoyishi bilan yasdiqlangan. Ishning topshirish muddati

2. sinf(x)=a, cosf(x)=a, tgf(x)=a va ctgf(x)=a ko’rinishidagi
tenglamalarni yechish.

sinf(x)=a, cosf(x)=a, tgf(x)=a, ctgf(x)=a (17)

ko’rinishdagi tenglamalarni yechishda t=f(x) almashtirish bajarsak, ular eng sodda trigonometrik tenglamalarga keladi. Masalan, sinf(x)=a tenglama ko’rsatilgan almashtirish natijasida

Sistemaga keladi. Bu sistemadagi ikkinchi tenglama |a|≤1 bo’lganda

yechimga ega bo’lib, uni sistemaning birinchi tenglamasiga qo’ysak,
(18)
tenglamaga ega bo’lamiz. Bu tenglama berilgan tenglama bilan teng kuchli va u oson yechiladi. |a|>1 bo’lganda sinf(x)=a tenglama yechimga ega emas.
Xuddi shunday cosf(x)=a, tgf(x)=a va ctgf(x)=a tenglamalar mos holda
(19)
(20)
(21)
tenglamalar bilan teng kuchli.
1-misol. tenglamani yeching.
Yechish. Berilgan tenglama tenglamaga teng kuchli. Bu tenglamani yechib topamiz:

2-misol. tenglamani yeching.
Yechish.
,
,

3. va
ko’rinishidagi tenglamalarni yechish.


va (22)
ko’rinishidagi tenglamalarni yechish uchun mos holda sinx=t, cosx=t, tgx=t va ctgx=t almashtirishlar bajarsak, f(t)=0 ko’rinishidagi tenglamaga ega bo’lamiz. Bu keyingi tenglamani yechib, uning ildizlarini o’rniga qo’ysak, eng sodda trigonometrik tenglamalarga ega bo’lamiz. Masalan, tenglamada t=sinx desak,

sistemaga ega bo’lamiz.
Agar bu sistemaning ikkinchi tenglamasi ildizlarga ega bo’lsa, berilgan tenglama

eng sodda trigonometrik tenglamalar bilan teng kuchli bo’ladi.
(23)
ko’rinishidagi tenglama quyidagicha yechiladi.
Bu tenglamaning chap tomoni faqat sinx ning funksiyasidan iborat, ya’ni tenglama f(sinx)=0 ko’rinishiga ega. sinx=t almashtirish o’tkazsak, (23) tenglama
(24)
ko’rinishiga keladi.
Bu kvadrat tenglamani yechib,
(25)
(26)
ildizlarni topamiz. Demak, (24) tenglama
(27)
tenglamalar bilan teng kuchli. Ma’lumki (27) tenglamalar bilan haqiqiy va | |≤1, | |≤1 bo’lgandagina yechimga ega. Shunday qilib, (24) tenglama yechimga ega bo’lishi uchun (25) tenglamaning diskirminanti va va larning hech bo’lmaganda birining absolyut qiymati 1 dan katta bo’lmasligi kerak.
Agar | |≤1, | |>1 bo’lsa, tenglama
(28)
yechimga, agar | |≤ | |≤1 bo’lsa, tenglama (62) va
(29)
yechimlar to’plamiga ega bo’ladi.
3-misol. tenglamani yeching.
Yechish. sinx=t desak, tenglamaga ega bo’lamiz. Bu yerdan , bo’lganligidan quyidagi
,
eng sodda trigonometrik tenglamalarga ega bo’lamiz.
dan
yoki
.
sinx=-2 tenglama yechimga ega emas, chunki |-2|>1.