Ishning mavzusi: “ ” fakultet dekanining 20 yil dagi № sonli farmoyishi bilan yasdiqlangan. Ishning topshirish muddati

Mavzuning dolzarbligi. Hozirgi kunda O’zbekiston Respublikasi Oliy o’quv yurtiga kirish uchun beriladigan davlat testlarida trigonometrik tenglama va tengsizliklar kiritilgan. Trigonometrik tenglama va tengsizliklarni yechishni bir nechta usullari mavjud. Bular ichidan eng optimal usullarni tanlash hozirgi kundagi dolzarb masalarlardan biridir.
Kurs ishining maqsadi. Trigonometrik tenglamalar va tengsizliklarni yechishning birmuncha qulay, sodda va optimal usullarini topish.

I-BOB. Trigonometrik tenglamalarni yechish usullari
1.1-§. Eng sodda trigonometrik tenglamalar.
Eng sodda trigonometrik tenglamalar deb sinx=a, cosx=b, tgx=c va ctgx=d ko’rinishidagi tenglamalarga aytiladi.
Eng sodda trigonometrik tenglamalarni yechish sinusi, kosinusi, tangensi va kotangensi mos holda a, b, c va d qiymatlarga ega bo’ladigan son ( yoki burchak, yoki yoy)larni topish demakdir.
Bu tenglamalarni yechishni alohida alohida ko’rib chiqamiz.
1. sinx=a tenglama. y=sinx funksiyaning o’zgarish sohasi [-1, 1] dan iborat bo’lgani uchun sinx=a tenglama |a|>1 bo’lganda yechimga ega bo’lmasdan, |a|≤1 bo’lgandagina yechimga ega bo’ladi.
|a|<1 bo’lsin. Tenglamaning yechimlarini topish uchun markazi koordinatalar boshida bo’lgan birlik doira va ordinatalar o’qida yotuvchi N(o,a) nuqta olib, shu nuqta orqali Ox o’qiga parallel to’g’ri chiziq o’tkazamiz.

Bu to’g’ri chiziq birlik aylanani va nuqtalarda kesib o’tadi. Bu holda, va radius-vektor Ox o’qi bilan mos ravishda, va burchaklar hosil qiladi.
Demak, , .
Sinus davri 2р bo’lgan davriy funksiya bo’lgani uchun izlanagan burchak (yoy)
va (1)
bo’ladi (bu yerda k ─ istalgan butun son).
Demak, |a|<1 bo’lganda sinusi a ga teng bo’lgan burchak (yoy) cheksiz ko’p bo’lib, bu burchak(yoylar) da yotgan teskari trigonometrik funksiya (arcsinx) ning ta’rifiga asosan arcsina ga teng. Unga bosh burchak (yoy) deyiladi, ya’ni
. (2)
yuqoridagi dan ravshanki, ;
bu yerdan

yoki
. (3)
(1) va (2)ni (3) ga qo’ysak,


kelib chiqadi. Agar bu ikki formulani birlashtirsak,
(4)
formulani hosil qilamiz, bu yerda n ─ ixtiyoriy butun son. Demak, sinx=a tenglamaning umumiy yechimi |a|<1 bo’lganda (3) formula bilan topiladi.
Endi a=0, a=1 va a=-1 bo’lganda sinx=a tenglamaning yechimlarini topish qoldi. Agar sinx=0 bo’lsa, uning yechimini
x=рn, (5)
sinx=1 bo’lsa,
(6)
va sinx=-1 bo’lsa,
(7)
ko’rinishda yozish mumkin.
Misollar. Tenglamalarni yeching. 1. ; 2. .
Yechish. 1. .
2.
2. cosx=b tenglama. y=cosx funksiyaning o’zgarish sohai [-1, 1] kesma bo’lganligidan, cosx=b tenglama |b|>1 bo’lganda yechimga ega bo’lmasdan, |b|≤1 bo’lgandagina yechimga ega bo’ladi. |b|<1 bo’lsin. U holda N(b, 0) nuqtadan Oy o’qiga parallel qilib o’tkazilgan to’g’ri chiziq birlik aylanani va nuqtalarda kesib o’tadi.

va radius-vektor Ox o’qi bilan mos holda, va burchaklar hosil qiladi.
Demak.
, .
Lekin kosinus 2р davrli funksiya bo’lgani uchun izlanagan burchak (yoy) quyidagidan iborat bo’ladi:
va . (8)
|b|<1 bo’lganda kosinusi b ga teng bo’lgan burchak (yoy)lardan [0, р] da yotgani arccosx ta’rifiga asosan arccosb ga teng. Unga bosh burchak (yoy) deyiladi, ya’ni
. (9)
yuqoridagi rasmdan ravshanki,
;
. (10)
(9) va (10) larni (8) ga qo’ysak,

.
Agar bu ikki formulani birlashtirsak,
(11)
formulani kelib chiqadi, (k ─ ixtiyoriy butun son). Demak, cosx=b tenglamaning umumiy yechimi |b|<1 bo’lganda (45) formula bilan topiladi.
Agar b=0, b=1 va b=-1 bo’lsa, cosx=b tenglamaning yechimlari quyidagicha bo’ladi;
cosx=0 tenglamaning yechimlari
, (12)
cosx=1 bo’lsa,
x=2рk, (13)
va cosx=-1 tenglamaning yechimlari:
x=р(2k+1). (14)
Misollar. 1. ; 2. tenglamalarni yeching.
Yechish. 1. .
2.
3. tgx=c tenglama. y=tgx funksiyaning o’zgarish sohasi (-∞ ∞) dan iborat bo’lgani uchun tgx=c tenglama c ning har qanday qiymatlarida yechimga ega bo’ladi.
Tangenslar o’qida N (1, c) nuqta olib, bu nuqta bilan koordinatalar boshi orqali to’g’ri chiziq o’tkazamiz.

Natijada va burchaklar hosil bo’lib,
.
Tangens р davrli funksiya bolgani uchun,
va .
Agar ekanligini hisobga olsak,
.
va uchun chiqarilgan formulalarni birlashtirib,

formulani hosil qilamiz (n ─ ixtiyoriy butun son). Tangensi c ga teng bo’lib, da yotgan burchak (yoy) arctgc ga teng. Unga bosh burchak(yoy) deyiladi, ya’ni
.
Demak, tgx=c tenglamaning umumiy yechimi
(15)
formula orqali topiladi.
4. ctgx=d tenglama. Bu tenglamaning umumiy yechimi uchun formulani tgx=c tenglama yechimi kabi yuqoridagi rasmdan foydalanib chiqarish oson.

ctgx=d tenglamaning yechimlari ham
(16)
formula bo’yicha topiladi.
Kotangensi d ga teng bo’lib [0, р] da yotgan burchak(yoy) arcctgd ga teng. Unga burchak (yoy) deyiladi.
Misollar. Tenglamalarni yeching.
1. ;
2. ;
3. ;
4. .