Ishning mavzusi: “ ” fakultet dekanining 20 yil dagi № sonli farmoyishi bilan yasdiqlangan. Ishning topshirish muddati

4-misol tenglamani yeching.
Yechish. sinx=t almashtirish o’tkazamiz, natijada tenglama ko’rinishiga keladi. Bu yerdan , va sinx=1, tenglamalarga ega bo’lamiz.
Bularni yechsak

va

(30)
ko’rinishidagi tenglamani formuladan foydalanib, (24) ko’rinishidagi tenglamaga keltirish mumkin.
5-misol. tenglamani yeching.
Yechish. formuladan foydalansak,

yoki
tenglamaga ega bo’lamiz. sinx=t desak, tenglama

ko’rinishiga keladi. Bu yerdan
, .
Bu qiymatlarni o’rniga qo’yib
,
Tenglamalarni hosil qilamiz.
dan
tenglama yechimga ega emas, chunki >1.
(25)
ko’rinishidagi tenglamani t=cosx almashtirish o’tkazib (24) tenglama kabi yechish va tekshirish mumkin.
6-misol. tenglamani yeching.
Yechish. cosx=t desak, berilgan tenglama ko’rinishiga keladi. Bu yerdan bu qiymatlarni o’rniga qo’ysak va eng sodda trigonometrik tenglamalarga ega bo’lamiz.
Bularni yechib topamiz:

(31)
tenglamani formuladan foydalanib (65) ko’rinishidagi tenglamaga keltirib yechish mumkin.
III. Xadlari sinx va cosx larga nisbatan bir xil umumiy darajaga ega bo’lgan tenglamaga bir jinsli trigonometrik tenglama deyiladi. Bunday tenglama quyidagi umumiy ko’rinishga ega:
(32)
Bu yerda ─ haqiqiy sonlar bo’lib, koeffitsentlar, n esa natural son bo’lib, bir jinslilik ko’rsatgichi deyiladi.
Agar bo’lsa, cosx=0 tenglamaning hamma ildizlari (31) tenglamani qanoatlantirishini ko’rish qiyin emas. Agar bo’lsa,

(31) tenglamani ildizi bo’la olmaydi. Chunki da cosx=0, sinx=±1 bo’lib, (31) tenglamaning o’ng tomoni bo’ladi.
Endi (31) tenglamaning yechimlarini izlaylik. Bu qiymatlar uchun cosx ≠ 0. Shuning uchun (31) tenglamaning ikki tomonini ga bo’lsak,
(32)
tenglamaga ega bo’lamiz. Bu tenglamaning ildizlarini

deb

eng sodda trigonometrik tenglamaga ega bo’lamiz. (31) tenglama yechimga bo’lishi uchun larning eng kamida biri haqiqiy son bo’lishi kerak.
Shuni ham aytib o’tish kerakki,


(32)
ko’rinishdagi tenglama ham ctgx=t almashtirish natijasida yechiladi. sinx va cosx larga nisbatan bir jinsli bo’lgan tenglamaning ichida eng soddasi va ko’p uchraydigani
asinx+bcosx=0 (n=1) (33)
va
(n=2) (34)
tenglamalardir.
Agar a≠0 bo’lsa va larga bo’lish natijasida (33) va (34) tenglamalar
(35)
va
(36)
ko’rinishga keladi.
(72) tenglamadan
bu yerdan
(37)
ko’rinishga keladi.
Agar bo’lsa, (36) tenglama

haqiqiy yechimlarga ega bo’ladi. Bu holda (34) tenglamaning yechimlari quyidagicha bo’ladi:

Agar bo’lsa, (34) tenglama yechimga ega emas.
7-misol. tenglamani yeching:
Yechish: a=5≠0 bo’lgani uchun berilgan tenglamani ga bo’lsak, unga teng kuchli bo’lgan

tenglama kelib chiqadi. tgx=t almashtirish bajarsak,

kvadrat tenglamaga ega bo’lamiz. Bu tenglamani yechamiz:
.
Bu qiymatlarni o’rniga qo’ysak, quyidagi

eng sodda trigonometrik tenglamalar kelib chiqadi. Bularni yechib topamiz:
va
(38)
ko’rinishidagi tenglamani

ayniyatdan foydalanib, (23) ko’rinishidagi bir jinsli tenglamaga keltirish mumkin.
Xususiy holda
(39)
ko’rinishidagi tenglama

ayniyatdan foydalanish natijasida bir jinsli

tenglamaga keladi.