Ix-bob. Ehtimollar nazariyasi 1-§. Hodisalar fazosi, hodisalar ustuda amallar. Hodisaning ehtimoli

Uzluksiz tasodifiy miqdorning son xarakteristikalari
Faraz qilaylik, tasodifiy miqdor bo’lib, uning taqsimot zichligi funksiyasi bo’lsin. tasodifiy miqdorning qiymatlari segmentda bo’lsin.
1 –Ta’rif. Qiymatlari oraliqda bo’lgan tasodifiy miqdor ning matematik kutishi deb, quyidagi aniq integralga aytiladi:
(1)
2-Ta’rif. Qiymatlari oraliqda bo’lgan tasodifiy miqdorni dispersiyasi deb, chetlanishni kvadratidan olingan matematik kutishga aytiladi.

yoki
.
O’rtacha kvadratik chetlanish
.
Misol. Uzluksiz tasodifiy miqdor taqsimot funksiyasi bilan berilgan.

ni matematik kutishi, dispersiyasi va o’rtacha kvadratik chetlanishi topilsin.
Oldin zichlik funksiyasini topamiz:

endi ni topamiz:
.
Demak, chiziq yuzani teng ikkiga bo’ladi.
Endi dispersiyani hisoblaymiz:

O’rta kvadratik chetlanishi
.

10.3-§. Normal taqsimot qonuni. Ko’rsatkichli taqsimot.
Ta’rif. Agar uzluksiz tasodifiy miqdorni taqsimot zichligi funksiyasi quyidagi ko’rinishda bo’lsa, bunday taqsimotga normal taqsimot deyiladi.

bu yerda va  lar normal taqsimotni parametrlari, - matematik kutishi,  - o’rtacha kvadratik chetlanishi.
Normal taqsimlangan tasodifiy miqdorni matematik kutishini topamiz.
( 1 )
buni integrallash uchun o’zgaruvchilarni almashtiramiz.
bundan

integralni chegaralari o’zgarmaydi. Topilganlarni (1) qo’ysak,

Birinchi integral nolga teng, ikkinchi integral Puasson integrali:
,
shuning uchun kelib chiqadi.
Xuddi shunday , agar normal taqsimotda bo’lsa,

ga normallashtirilgan normal taqsimot deyiladi. Normal taqsimotni taqsimot funksiyasi

bo’lgani uchun normallashtirilgan normal taqsimotni taqsimot funksiyasi

bo’ladi.
- Laplas funksiyasi ekanini eslab, tasodifiy miqdorni berilgan oraliqqa tushish ehtimolidan
.
Normal taqsimotda - o’rta qiymatni ko’rsatadi.  esa o’rtacha kvadratik chetlanishini,  ning o’sishi bilan normal taqsimot grafigining cho’qqisi pasayib boradi, ya’ni tarqoqlik ko’payadi.
a) Normal taqsimlangan tasodifiy miqdorni berilgan oraliqqa tushish ehtimoli.
Agar uzluksiz tasodifiy miqdor bo’lsa hamda uni taqsimot zichligi funksiyasi bo’lsa, ni oraliqqa tushish ehtimoli
.
Agar normal taqsimlangan bo’lsa,



integralga ega bo’lamiz. Buni integrallash uchun o’zgaruvchini almashtiramiz.

bo’lsa, bo’lsa, bo’ladi.
Shunday qilib, quyidagiga ega bo’lamiz:

Shunday qilib, Laplas funksiyasi

ekanini e’tiborga olsak,

kelib chiqadi.
Misol. Normal taqsimlangan tasodifiy miqdor ni matematik kutishi 30 ga, o’rtacha kvadratik chetlanishi 10 ga teng. Tajriba natijasida shu tasodifiy miqdorlarni oraliqqa tushish ehtimoli topilsin.
Yechish. Shartga ko’ra

b) Chetlanishni ehtimoli.
Ko’p hollarda normal taqsimlangan tasodifiy miqdorni chetlanishini ni absolyut qiymati bo’yicha biror sondan kichik qiymat qabul qilishini baholashga to’g’ri keladi, ya’ni

tengsizlikning ro’y berish ehtimolini topish talab qilinadi. Bu tengsizlikni quyidagi ikkilangan tengsizlik bilan almashtiramiz:

bu tengsizlikning hamma tomoniga ni qo’shsak,

qo’sh tengsizlikni hosil qilamiz.
Demak,

(Bu yerda funksiyani juftligi hisobga olindi).
Shunday qilib,
.
Agar bo’lsa,
.
Bu ehtimol ga bog’liq bo’lmasdan oraliqni uzunligiga, to’g’ri proporsional va o’rtacha kvadratik chetlanish  ga teskari proporsionaldir.
Misol. Normal taqsimlangan tasodifiy miqdor ni matematik kutishi 5 ga o’rtacha kvadratik chetlanishi 2 ga teng. Chetlanishni absolyut qiymati bo’yicha 4 dan kichik bo’lish ehtimoli topilsin.
Yechish.
formuladan foydalanamiz. Shartga ko’ra bo’lgani uchun
.
ni kitobni oxiridagi 2-ilovadan topamiz. .
.
v) Uch sigma qoidasi.
Chetlanishni ehtimoli berilgan bo’lsin.

bu yerda almashtirish olamiz:
Agar bo’lsa,
.
bo’ladi. Bu esa normal taqsimotda chetlanishni bo’lmasligi ishonchsiz hodisa ekanini bildiradi.
Agar bo’lsa,
.
Agar bo’lsa,
.
Agar bo’lsa,
.
Bu degani chetlanishni absolyut qiymati bo’yicha uchlangan o’rtacha kvadratik chetlanishdan kichik bo’lishi ishonchli hodisaga yaqin.