Классификация случайных событий. Классическое определе­

Оценка генеральной доли по собственно-случайной выбор­ке. Несмещенность и состоятельность выборочной доли.

Пусть генеральная совок-ть содержит N элементов, из к-ых М обладает нек-ым признаком А. Следует найти «наилучшую» оценку генеральной доли . Рассмотрим в качестве такой возможной оценки параметра р его статистический аналог - выборочную долю .
а) Выборка повторная.
В ыборочную долю можно представить как среднюю арифметическую n альтернативных случайных величин , т.е. , где каждая СВ (k=1,2,…,n) выражает число появлений признака в k-м элементе выборки (т.е. при наличии признака , при его отсутствии ) и имеет один и тот же закон распределения:
Случайные величины независимы.
Теорема. Выборочная доля повторной выборки есть несмещенная и состоятельная оценка генеральной доли причем ее дисперсия: , Где q = 1 – p.
☺ Докажем вначале несмещенность оценки w.
Матем-кое ожидание и дисперсия частости события в n независимых испытаниях, в каждом из к-рых оно может наступить с одной и той же вероятностью р, равны соответственно
, .
Т.к. вер-ть того, что любой отобранный в выборку элемент обладает признаком А, есть генеральная доля р, то из 1 равенства вытекает, что частость или выборочная доля w есть несмещенная оценка генеральной доли р.
Осталось доказать состоятельность оценки , к-ая следует из теоремы Бернулли: , или . ☻
б) Выборка бесповторная.
В случае бесповторной выборки СВ будут зависимыми.
Теорема. Выборочная доля бесповторной выборки есть несмещенная и состоятельная оценка генеральной доли , причем ее дисперсия:
.
☺ Очевидно, что и для бесповторной выборки , т.е. w - несмещенная оценка для генеральной доли . Это связано с тем, что мат-кое ожидание суммы любых случайных величин равно сумме их мат-ких ожиданий (в том числе суммы зависимых случайных величин, каковой является выборочная доля w бесповторной выборки).
Найдем дисперсию выборочной доли для бесповторной выборки:
,
При выводе формулы использовали то, что СВ Х = m в случае бесповтoрной выборки имеет гипергеометрическое распределение, и ее дисперсия определяется по формуле .

30.