Kombinatorika predmeti nima?

Chekli va cheksiz to‘plamlar bir-biridan qanday farqlanadi?

To‘plamni tashkil etuvchi elementlar soni chekli yoki cheksiz bo‘lishi mumkin. Birinchi holda chekli to‘plamga, ikkinchi holda esa, cheksiz to‘plamga ega bo‘lamiz.

To‘plamlarni belgilashda, odatda, lotin yoki grek alifbosining bosh harflari, uning elementlari uchun esa alifboning kichik harflari qo‘llaniladi. To‘plamni tashkil etuvchi elementlar figurali qavslar orasiga olinib ifodalanishi mumkin. Masalan, to‘plamning elementlardan tuzilganligini ko‘rinishda yozish mumkin. Ko‘pincha (masalan, cheksiz to‘plam yoki to‘plamning elementlari juda ko‘p bo‘lgan holda) to‘plamni belgilashda figurali qavslar orasida, avvalo, to‘plamni tashkil etuvchi elementning umumiy belgisi yozilib, undan so‘ng “|” yoki “:” belgisi qo‘yiladi, keyin esa, ifodalanayotgan to‘plamning barcha elementlariga xos shartlar yoziladi. Bunda, yozuvni murakkablashtirmaslik maqsadida, ba’zi qisqartirishlarga yoki tushuntiruvchi so‘zlarning qavslardan tashqarida yozilishiga yo‘l qo‘yiladi. Masalan, toq natural sonlar to‘plamini deb belgilasak, uni , bunda – natural son, yoki ⁹ko‘rinishda yozish mumkin.

8. 
   To‘plamlarni belgilashda qaysi usullardan foydalaniladi?
   

To‘plamlarni belgilashda, odatda, lotin yoki grek alifbosining bosh harflari, uning elementlari uchun esa alifboning kichik harflari qo‘llaniladi. To‘plamni tashkil etuvchi elementlar figurali qavslar orasiga olinib ifodalanishi mumkin. Masalan, to‘plamning elementlardan tuzilganligini ko‘rinishda yozish mumkin. Ko‘pincha (masalan, cheksiz to‘plam yoki to‘plamning elementlari juda ko‘p bo‘lgan holda) to‘plamni belgilashda figurali qavslar orasida, avvalo, to‘plamni tashkil etuvchi elementning umumiy belgisi yozilib, undan so‘ng “|” yoki “:” belgisi qo‘yiladi, keyin esa, ifodalanayotgan to‘plamning barcha elementlariga xos shartlar yoziladi. Bunda, yozuvni murakkablashtirmaslik maqsadida, ba’zi qisqartirishlarga yoki tushuntiruvchi so‘zlarning qavslardan tashqarida yozilishiga yo‘l qo‘yiladi. Masalan, toq natural sonlar to‘plamini deb belgilasak, uni uni , bunda – natural son, yoki ¹⁰ko‘rinishda yozish mumkin

9. 
   Rassel paradoksini bilasizmi?
   

XX asrning boshiga kelib, Kantorning matematikani standartlashtirish bo‘yicha dasturining asosi bo‘lgan va “to‘plamlarning sodda nazariyasi” deb ham ataluvchi to‘plamlar nazariyasi mukammal emasligi ma’lum bo‘ldi. To‘plamlarning sodda nazariyasini o‘rganish jarayonida Rassel¹¹paradoksga¹² kelib qoldi. Kantorning to‘plamlar nazariyasi ichki ziddiyatga ega ekanligi Rassel paradoksi sifatida ifodalangan.

Rassel paradoksi. Faraz qilaylik, – o‘zini element sifatida o‘zida saqlamagan barcha to‘plamlar to‘plami bo‘lsin. U holda, – o‘zini element sifatida saqlaydimi? Agar bu savolga “ha” deb javob berilsa, to‘plamning aniqlanishiga ko‘ra, u ning elementi bo‘lmasligi kerak – ziddiyat. Agar “yo‘q” deb javob berilsa, yana to‘plamning aniqlanishiga ko‘ra, u to‘plam sifatida ning elementi bo‘lishi kerak – yana ziddiyat.

Paradо́ks (grekcha παράδοξος so‘zi kutilmagan, tushunarsiz, g‘ayrioddiy, taajjubli ma’nolarini beradi) – mantiqiy nuqtai nazardan formal ravishda to‘g‘ri fikrlab bir-biriga zid bo‘lgan natijalarni hosil qilish

10. 
    To‘plamlar aksiomatik nazariyasining mohiyati nimadan iborat?
    

Hozirgi zamon to‘plamlar nazariyasi aksiomalar¹³ tizimiga asoslangandir. Qandaydir aksiomalarga asoslangan nazariya aksiomatik nazariya deb yuritiladi. To‘plamlarning aksiomatik nazariyasida bunday aksiomalar tizimi sifatida standart tizim hisoblangan Sermeloⁱ-Frenkelⁱⁱ aksiomalari tizimini keltirish mumkin. To‘plamlar nazariyasida, ko‘pincha, bu tizimga tanlash aksiomasi deb ataluvchi aksiomani ham qo‘shib olib, tanlash aksiomasi qatnashgan Sermelo-Frenkel aksiomalari tizimi bilan ish ko‘riladi. Bu aksiomalar tizimidan tashqari boshqa aksiomalar tizimlaridan ham foydalaniladi. Masalan, fon Neymanⁱⁱⁱ-Berneys^iv-Gyodel^v tizimi.

11. 
    Hajmiylik aksiomasi nimadan iborat?
    

Hajmiylik aksiomasi. Ikkita va to‘plamlar faqat va faqat aynan bir xil elementlardan iborat bo‘lsagina teng bo‘ladi

Hajmiylik aksiomasidan, to‘plamlar bo‘yicha ko‘plab tasdiqlarni isbotlashda foydalanamiz. Hajmiylik aksiomasini boshqacha ifodalash ham mumkin. to‘plamning har bir elementi to‘plamda ham mavjud va, aksincha, to‘plamning har bir elementi to‘plamda ham mavjud bo‘lsa, u holda va to‘plamlar tengdir. va to‘plamlarning tengligini yoki ko‘rinishda ifodalaymiz. Aslida, bo‘lsa, u holda va to‘plamlar aynan bitta to‘plamning har xil belgilanishidir. Masalan, o‘nlik sanoq tizimidagi yozuvining oxirgi raqami 1, 3, 5, 7 yoki 9 raqamlaridan biri bo‘lgan natural sonlar to‘plamini bilan, birni qo‘shganda ikkiga qoldiqsiz bo‘linadigan natural sonlar to‘plamini esa bilan belgilasak, u holda bo‘ladi. yozuv to‘plamlardagi elementlarning qaysi tartibda joylashishiga bog‘liq emas. Albatta, to‘plamdagi elementlarni qaysi tartibda qo‘yish masalasi ham dolzarbdir.

va to‘plamlar teng bo‘lmasa, u holda bu holat yoki ko‘rinishda ifodalanadi.

To‘plamlar nazariyasida quvvat eng muhim tushunchalardan biri bo‘lib, u to‘plamlarni taqqoslashda katta ahamiyatga egadir. To‘plamning quvvati tushunchasi, uning chekli yoki cheksiz bo‘lishiga qarab ta’riflanadi. Quvvat tushunchasi to‘g‘risida batafsil ma’lumotni to‘plamlar nazariyasiga bag‘ishlangan manbalardan topish mumkin (masalan, [30-33]). Kombinatorika va graflar nazariyasida, asosan, chekli to‘plamlar bilan ish ko‘riladi. Shu sababli, to‘plamning quvvati tushunchasini faqat chekli to‘plamlar uchun keltirish bilan chegaralanamiz.

12.