Куринишга эга булганлиги учун

1. Вектор ва матрицаларнинг нормалари. Аввало вектор узунли- ги тушунчасини умумлаштирувчи вектор нормаси тушунчасини
киритамиз. х векторнинг нормаси деб куйидаги уч шартни к,ано- атлантирувчи х^аК^иКий || х || сонга айтилади:

1. 
   || х || > 0 ва х = б б^лгандагина || х || = 0;
   
2. 
   \ар кандай а сон учун || а х || = | а | )| х ||;
   
3. 
   || х + у || < || х I + |[ у || •— учбурчак тенгсизлиги.
   

Бу таърифдан норманинг куйидаги хоссаси келиб чикади:

e = (0, ..., 0, l_(t+l), 0, 0) 127
х, +... + а. 127
II X ||з=!1 X 11= VI ^1 Р +1 *2 I² +-+ К I¹* (7-6) 131
||х<°>|| = 1,1М11 = М^^№11 135
1 ^ XI % I* «их XI^а* I = £I ^ад I 136
2Х 136
= хы 136
= XI^aJk l^maxEl^a<* I- (7.14) 136
^XXk* I-U* 1^ 136
II Я" ||,= £ 136
= XI Щ |= max XI а,* 136
о о о ... я_ 141
J = 0. 1, я»,- 1 УЧУ» 142
HI* 150
< 1, 151
^ <1, 151
КМ. 151
Z 151
к - s 21II I + 2 КI - ^хГ I* 157
li 2K l + l llj У |a,_y | 157
\\х - *<**!, < Р ||х - х⁽*^+п1|, + tfjx 158
||*-*⁽*^+,) ||, < Mi*' || х - x^w ||, 158

(7.2) ва (7.3) дан эса (7.1) келиб чикади.
х = (х_г х_г, ..., х_л)' векторнинг нормаси тушунчасини фак,ат юкоридаги учта шартни к,^аноатлантирадиган килиб, турли хил усуллар билан киритиш мумкин. Щулардан куп учратиладиган учтасини куриб утайлик.

1. 
   Биринчи — кубик норма:
   

II х ||, = max | х₍ |. (7.4)
Хаки кий векторлар фазосидаги, нормаси бирдан ортмайдиган векторларнинг туплами:
-1 < х, < 1, ..., - lsx,sl
бирлик кубдан иборатдир, шунинг учун |( х ||₍ кубик норма хам дейи- лади.

2. 
   Иккинчи — октаэдрик норма:
   

И = 1Л + I *з1 +...+ 1*1- (7.5)
Иккинчи нормаси 1 дан ортмайдиган \акикий векторларнинг туплами октаэдрнингл — улчовли аналогидан иборатдир, шунинг учун || х |р октаэдрик норма дейилади.

3. 
   Учинчи — сферик норма:
   

II X ||з=!1 X 11= VI ^1 Р +1 *2 I² +-+ К I¹* (7-6)
Бу норма вектор узунлигининг узгинаси булиб, ||х|| < 1 шарт- ни кд ноатла нти ради ган векторлар туплами бирлик ёпик, шардан иборатдир.
Бу нормалар учун 1) —3) шартларнинг бажарилишини текши- рамиз. Биринчи ва иккинчи шартларнинг бажарилиши бевосита куриниб турибди. Энди ушбу
\\х+п*т + \т
шартни текширайлик:
Биринчи норма учун:
\\х + у II, = шах | х, + у, | < шах | х, | + шах | у,. | » ||х|[,+ \\у Ц,.
Иккинчи норма учун
1*1 г=1 1=]

Jil *, + У, I¹ S ^1 *, Р + ^1 У, I² =11 * II. + IIУ
Ни\оят, Коши - Буноковский тенгсизлигвдан И*+ 5^3-
келиб чицади.
УмумиЙ холда векторларнинг 1_р фазода нормасини куйидагича киритиш мумкин:

I * Ир-
ifp
бу ерда р Е [1, оо ] — ихтиёрий \а*ущий сон. Курсатиш мумкинки || х | микдор норманинг учала шартини кдноатлантиради (бобнинг охиридаги машкдарга царанг). ||х|| ифода р = °=>, 1 ва 2 булганда мое равищца кубик, октаэдрик ва сферик нормаларга айланади.
Фараз кдлайлик В — ихтиёрий берилган мусбат аникданган матрица булсин. у холда
IIXИ = {Х' Вху*
ифода мухим нормалар синфини эллиптик нормалар деб аталувчи синфини ташкил этади. Бундам В = Е— бирлик матрица бул ган­да сферик норма келиб чикади.
Эллиптик. нормалар матрицалар назарнясида марказий роль уйнайди. Бу шу билан бопшкки уларни скаляр купайтма ёрдами- да киритиш мумкин. Биз кейинчалик курамизки скаляр купайтма уз навбатида, векторларнинг ортогоналлик тушунчасини аник,- лайди.
Энди матрица нормасини куриб чиксам из. А квадрат матрица- нинг нормаси деб куйидаги турт шартни к;ан оатл а нти рувчи хакикий сонга айтилади:

1. 
   \\ А || > 0 ва /1 = 0 булгандагина || А (| = 0;
   
2. 
   ихтиёрий а сон учун || а А || = | а ( * (| А ||;
   
3. 
   К А + В |( £ || А |( + || В || (учбурчак тенгатиги);
   
4. 
   || АВ И < М «* И К*
   

Бу матрица нормаси учун х,ам (7.1) тенгсизликка ухшаш
||M||-||5|||тенгсиэликни келтириб чикдриш мумкин. Матрица нормасини турли усуллар билан аншугаш мумкин. Аммо чнзикди алгебра- нинг куп масалаларида матрица ва векторларнинг нормалари ту- шунчалари параллел холла кдтнашади. Шунинг учун хам матрица ва вектор нормалари тушунчаларини бир-бирига боЕланган холда киритиш максадга мувофивдир.
Агар \ар цандай квадрат А матрица учун ва улчами матрица тартибига тенг булган ихтиёрий х вектор учун ушбу
Мх||*ЫИ*|| (7.8)
тенгсизлик бажарилса, у холдаматрица нормаси векторнинг берил- ган нормаси билан мосланган дейилади.
Векторларнинг берилган нормасига матрицанинг мосланган нормаларидан энг кичигини танлаймиз. Шу макдадда А матрица­нинг нормасини Ах вектор нормаси ёрдамида куйидагича аник- лаймиз:
Ы II = max II Лх||. (7.9)
ll*i= |
Бу ерда х вектор нормаси бирга тенг болтан барча векторлар­нинг т^пламидан олинади.
Биз кейинрок векторлар ва матрицаларнинг лимита тушунча- сини киритиб, улар ёрдамида норманинг узлуксизлигини курса- тамиз. Лекин хозирча шу тушунчадан фойдаланишга xj?FpH ке- лади.
Хар цандай А матрица учун А х вектор нормасининг узлуксиз- лигига кура (7.9) тенгликца максимумга эришилади, яъни шундай х^,0) вектор топиладики ]| х ^<0)| = 1 ва || Лх ^(0|Ц = | А || тенгликлар бажарилади. (7.9) тенглик билан киритилган матрица нормаси век­торнинг берилган нормасига буйсунган дейилади,
1-теорема. Матрицанинг буйсунган нормаси:
а) норма таърифининг 1) — 4) шартларини ца ноатл антирад и;
б) векторнинг берилган нормаси билан мосланган;
в) векторнинг берилган нормасига мосланган бошка хар кдн- лай нормасидан катта эмас.
Исбот. Норма таърифининг 1) шартини текширамиз. Фараз килайлик, А * 0 булсин. У холда, доимо Ау *0 шартни кдноат- лантирувчи вектор топилади. Энди у векторга кура х - щ век- горни цараймиз. Вектор нормаси таърифининг 2) шартидан |] х Ц= ||||| = щ-1| j? ||= 1 келиб читали, Ах * 0 бз?лганлигидан
I) шартга Kj?pa ||Лх|| > О демак,
|| А ||= max || Ах ||> О и и _№) II и
булади. Агар А = 0 булса, у холда \А Ц = шах || 0 - х ||= 0 булади.
2) шарт хам осоншна текширилади:
|| а А ||= max || а. Ах ||= max | а | • || Ах Н а | max Ц Лх И а 1 * М II •
Энди 3) шартни текширамиз. Ю кори да айтганимиздек, хар кандай А + В матрица учун хар доим шундай х⁽⁰⁾ вектор топила- дики унинг учун ||х ⁽⁰⁾|)=1 ва
\\Л + В I = max I (А + В)х ||=|| (А + В)х^т ||
тенгликлар Гринли булади.
У холда
|| А + 51| = Ц Лх⁽⁰⁾ + ^^<0) ||<|| Ах^т || + || Вх^т || <
£ шах || Ах || + max || Вх || = || А || + || В ||. l*l=i l*l=i
Норма таърифининг 4) шартини текширицщан аввал, мослан- ганлик шарти J7.8) ни текширамиз.
Агар х = 0 булса, (7.8) нинг бажарилиши куриниб турибди.
Фараз килайлик, х - 0 булсин. У холда у⁽⁰⁾ = векторни оламиз. Н У^№]|=1 б;?лганлиги учун * ^I
|| АВ || = i| А(В х <°>)lj £ МII - II Вх < || A Ml В || ■ || У <1 = М HI В ||.
Них,оят, теореманинг охирги шартинигина текшириих цолди. Фараз цилайлнк, (| А (| матрицанинг векторларнинг берилган нор- масига буйсунган нормаси булиб, || А ||* — векторларнинг шу нор- маси билан мосланган ихтиёрий нормаси булсин. У ва^гда, маъ- лумки, А матрица учун
||х<°>|| = 1,1М11 = М^^№11
тенгликларни цаноатлантирадиган х^((|) вектор топилади.
Лекин
\\Ах<Ц<\\А\\*-\\хМ\\ = \\А\\*
демак,
MMlUf.
Шу билан теорема тулик, исботланди.
Энди матрицанинг векторларнинг юк,орида киритилган нор- маларига буйсунган нормаси кУринишларини келтирамиз. Улар мос равишда кУЙидагилардан иборатдир;

я

II A ||] = max £|a* 1 (кубик норма),	(7.10)
If 11 В ||2= max £ | | (октаэдрик норма),	(7Л1)
Ы||з=М||= (сферик норма).	(7.12)

Бу ерда Я, А'А матрицанинг энг катга хос сони.

Энди (7.10)-(7.12) нормаларнинг мос равишда (7,4)-(7.6) нор- маларга буйсунган нормалар эканини курсатамиз,




Ах =

it-!

*=1
Хак^к,атан хам А х вектор цуйидаги
куринишга эга булганлиги учун вектор нормасининг таърифига



|( А ||, = шах
И Ml ,

л
< max £II % | • | ** I ‘ * = !
кура
ва агар ||x||_t = l булса, у холда
П
И A ||! = шах 1| Ах j|_t < max XI % I • (7.13)
флраз к,илайлик, XI ^а* I максимумга i = j булганда эришилсин. У \олда *^=|
х <⁰⁾=(sign a_jlt sign a_j2, ..., sign а. у лектор учун У X ⁽⁰>|j₁ =1 ва шу билан бирга i * j булганда
1 ^ XI % I* «их XI^а* I = £I ^ад I
*=] | *=i *-i *-i










2Х
t-i

*4^0>

X a_Jksigna_Jk *=1

= хы
Лг-1

генглик бажарилади.
Бу ердан
|| Ах^т ||,= шах

X ^а»*'

ДО)

л-1

п п
= XI^aJk l^maxEl^a<* I- (7.14)
*=i ' *-i
тенгсизликлар бажарилиб, /' = j булганда эса
Демак,
IUIIi = шах Ш1 > IUx⁽⁰⁾ll = max XI % I
l*h IS*®" *T]
Куйидаги
|| A ||,< max XI a_lk | ва || A ||,> max XI ^ I
' *-i ' *=1
те нгсизликларни таккослаш айтилган гаедикни исбоглайди.





11^11₂=Х

/=1

^XXk* I-U* 1^

Ы\ к =
Энди (7.11) тенгликнинг тугрилигини курсатамиз. |х||₂=1 деб олайлик, у долда
х* 1^=тахЁ1% I-
Фараз килайлик, max XI ^а,к I га k=j булганда эришилсин. Буерда
* t-i
х⁽⁰⁾ = (xf⁰⁾, xf\ ...,х^⁰⁾) векторни шундай танлаймизки k*j булганда *<⁰⁾ = 0 б^либ, xf^} = 0 булсин.





II Я" ||,= £
М

X ^ai*'

Д°>

= XI Щ |= max XI а,*
Куриниб турибдики, ||х⁽⁰⁾||₂=1 ва шу билан бирга
Демак,
п
max || Ах ||, = ]| Ах |], = max £ | % |,
яъни
!| А )\₂= max V] а,_к ].
* ы
Нщоят, (7,12) формуланинг Гринли эканлигини курсатамиз. Фараз цилайлик, ||х ||₃= I булсин. Сферик норманинг квадрата скаляр купайтма билан уст ма-уст тушганлиги учун ва скаляр купай- тманинг хоссасига кура
I Ах |g = (Ах, Ах) = (х, А'Ах).
А'А — манфий булмаган симметрик матрицадйр (агар барча х лар учун (Вх , х) > 0 булса, В симметрик матрица манфий булма- ган матрица д&1лшгл)л). Чизикди алгебра курсидан маълумки, бун- дай матрицаларнинг барча хос сонлари манфий эмас. Фараз к,илай- лик,А, >Я₂> ... >Я_плар/4'/1 матрицанинг хос сонлари б^либ, x<ⁿ, х^а\ ..., хуларга мос келадиган \ак.икий ортонормал хос вектор булсин. Агар ||х||₃=1 шартни к;а н оатл а нтир у в ч и х векторни хос векторлар буйича ёйсак,
х = с,х^(|) + с₂х^(г) + ... + с_пх^<п), у х,олда С) + с₂+.. ,+Сд = 1 тенглик уринли бул ад и ва
|| Ах ]|j= (х,А'Ах) = (qx^(l) ■+■ ... + с„х^(п),Л₁с_|д;^ш +
+... + A_Hc„x^w) = А,с? + ... + Л_пс²„ <\(c² +... + c²„) = A,.
Энди x = x^(l) деб олсак,
|| Ax¹" |g= (x<’\ A’Ax^iX)) = (х^(,>,Ах^ш) = A,.
Шу билан учинчи тасдик, хам исботланди.