Куринишга эга булганлиги учун

И с б о т. Зарурлиги. Фараз кушайлик, ихтиёрий дастлабки век­тор учун lim х^(к) = х * лимит мавжуд булсин. У \олда х * = Вх *+ с .

13. 
    ни бутенгликдан айириб, куйидагиларни хос ил килам из;
    

= В(х*-х'^к~") = В²(х*-х^) = ... =В^к{х* -Зс<«). Энди х * - х⁽⁰⁾ вектор к га бокпик булмаганлиги учун **~х<*> = Д*(х*-.х⁽⁰⁾) тенгликда к -* « да лимитга утсак,
lim В^к =0
келиб чикдци, бундан эса 7-§ даги 1-леммага кура В матрицанинг барча хос сонларининг модуллари бирдан кичиклиги куринади.
Кифоялиги. (8.13) оркали аникланадиган барча якинлашиш- ларни дастлабки вектор х<⁰⁾ ва с оркали ифодалаймиз;
*<*> = Вх"-" +с = В(Вх«~ъ +с) +с =
= В²х<*⁺²> + (Е+ В)с = ... = В^кх w + (Е + В + ... + &^к~")с .
Энди, фараз килайлик, В нинг барча хос сонлари бирдан кичик булсин. У колда 7-§ даги 1-лемма ва 4-теоремага кура
В^к >Q, Е + В + В² +... + В^к-^] —>(£”-В)~'. (8.13*)
Демак, х⁽⁰⁾ кандай булишидан катьи назар якинлашувчи кетма-кетликцир.
Исбот килинган теорема назарий жи\атдан фойдали, чунки у мавжуд дакикатни аник ифодалайди. Пекин амалий ишлар учун ярамайди. Энди В матрицанинг элементлари оркдли ифодалана- диган кифоялилик белгисини келтирамиз.
2-теорема. (8.13) оддий итерацияжараенинингяк^нлашувчи булиши учун В матрицанинг бирор нормаси бирдан кичик були- ши кифоядир.
И с б о т. Хдкикдтан \ам агар || В || < 1 булса, 7-§ даги 3-леммага кура бу матрицанинг барча хос сонлари модуллари буйича бирдан кичик булиб, бундан 1 — теоремага асосан оддий итерацион жа- раённинг якинлашишлиги келиб чикдди.

2. 
   теорема бир неча кулай кифоялилик белгиларини келтиришга имкон беради.
   
3. 
   теорема. (8.13) оддий итерация жараёни якунлашишиучун В матрицанинг элементлари куй ид а ги
   

п
шах^|^ |<ц< 1, (8.14)
П
тах£|^|<,ц<1, (8.15)
^ / = ]
Е 1^ 1^^<1 (8.16)
и-1
тенгсизликларнинг бирортасини кдноатлантириши кифоядир.
Агар биз
II ^ 11= maxjri^. |, | В||₂= шах |
нормаларни эсласак, теоремадаги аввалги иккита шарт 2-теоре- мадан келиб читали. Охирги шартдаги тенгсизлик эса, ||^j|₃ = нинг бирдан кичик эканлигини курсатади. Х^аКикдтан \ам бу ерда А, В' • В матрицанинг энг катта хос сони булганлиги ва В' В нинг барча хос сонлари манфий булмаганлиги учун
А) ^ А₍ + А₂ + ... + А_я
Лекин бу тенгсизликнинг унг томонидаги ифода В¹ * В нинг изига (яъни В' • В матрица диагонал элементларининг йигиндисига) тенг
ft ^
бУлиб, у эса 2 \ь₉1² га тенгдир.
и=¹
Энди якдшлашиш тезлигини бахолайдиган куйидаги теорема- ни келтирамиз.

2. 
   теорема. Агар В матрицанинг, х векторнинг берилган нормасига мосланган бирор нормаси бирдан кичик булса, у холда
   

13. 
    оддий итерация методининг хатоси куйидагича бахоланади:
    

Цх*-х<^0> \\<\\B\f\\ x^{0>


1ИГИ
И сбот. Теорема шартига кура )[ Л|| < 1, шунинг учун хам
Jc* = (Е + В+ В¹ + ... + В*-¹ + ...)Г. (8.17)
Бу тенгликни (8.15) дан айирсак,
X*- *<*>= ~В* х^т + {В^к + В^м + ...)с. (8.18)






*цвг + 11 в||'*♦■ + ...)
1*11

с =

HI*

fit

W
Бундан эса




I х *-х^{к>

|В|**^ДИ
Н15Ц

(8-19)
Шуни исботлаш талаб к,илинган эди, Шуни \ам таъкидлаб утиш керакки, агар х⁽⁰⁾ сифатида озод \адлар устуни с олинган булса, у холда итерациянинг хатоси дуйидагича бахоланади:
Хакихатан хам х⁽⁰⁾=с деб олсак, у холда (8.18) урнига
х* - *<*>= (В^кЧ + В^к*^г + ...)с
тенгликка эга б^ламиз, бундан эса (8.19) келиб читали.
Энди (8.11) системани (8.12) куринишга келтириш ва оддий итерациянинг амалда цулланилиши устида тухталиб утамкз. Шу махсадда ихтиёрий махсусмас Р матрица олиб, итерациянинг ку- йидаги
х<**|>=(£- лоJC<»+ Рс (8.20)
куринишда ёзиш мумкин. Албатта, Р матрица шундай танланган булиши керакки,
В = Е - РА
матрица учун ядинлашиш шарти бажарилсин. Куйидаги иккита хусусий холни куриб чи^амиз.
1. Р = D~\ бу ерда D диагонал матрица б^либ, диагонал эле- ментлари А матрицанинг диагонал элементлари билан устма-уст тушсин. Бу холда (8.20) итерация жараёнини тузиш

а„х, +апх,	+ .	. + я„х,
лг]х, + апх2	+.	■ + ^ап^х
+ ^ач^х>	+.	.. + апх

система тенгламаларини мос равишда о,,, а₂₂, ..., а_пп ларга булиб, \осил булган тенгламаларда х_р х_г, ..., х_п ларни мос равишда чаи томонда крлдириб, колганларини унг томонга утказишдан ибо- ратдир. Натижада,

. -	-^х2-..
^1 «и	«и ^2	"11 "
. h	1 № я .1
^2 <*п	^а22	“21
. _ Ь„	- ^а"^] х,-
^л аЙП	&ПЯ	“я»

шах
\

%
^аИ

< 1,

(8.21)

шах

^ <1,

Z

/=1

'=1.W

КМ.

(8.22)
(8.23)
системага эта буламиз. Бу усул одатда Якоби методы дейилади. Албатга бу усулни куллаш мумкин булиши учун барча а_№лар нол- дан фаркди булиши керак. Бундан ташкдри диагонал элементлар- нинг модуллари бошка элементларнинг модулларидан анча катга булиши керак. Аникрога куйидаги тенгсизликларнинг бирортаси бажарилиши лозим:
Бу тенгсизликлар бажарилса, у \олда мос равишда (8.14)—(8.16) тенгсизликлар х,ам бажарилади.

2. 
   Р = А~¹ — е, бу ерда е = [с..] элементларининг модуллари етарлича кичик булган матрицадир. Бу *олда (8.20) тенглик
   

х<*^+|)= вАх^1К>+ (А~'~е)Ь
куринишга эга булиб, £ А матрица як,инлашиш шартини кдноат- лантиради.
(8.11) системани Р га купайтириш система тенгламалари усти- да элементар алмаштириш бажариш билан тенг кучлидир.
Одатда Р ни 2-куринишда олинганда мисол ечиш учун куйида- гича иш тутилади. Берилган системадан шундай тенгламаларни ажратиб олинадики, бу тенгламаларда бирор номаълум олдидаги коэффициент модули буйича шу тенгламанинг долган барча ко- эффициентлари модулларининг йигиндисидан катга булсин. Аж- ратилган тенгламалар шундай жойлаштириладики, уларнинг энг
катта коэффициентлари диагонал коэффициентлар булсин. Тенг- ламаларнинг цолганларидан ва ажратилганларидан юкоридаги принцип сакданадиган, яъни энг катта коэффициент диагонал коэффициент буладиган чилиб узаро чизикди эркли булган чи- зикди комбинациялар тузилади ва барча буш сатрлар тулдирила- ди. Шу билан бирга дастлабки системанинг чар бир тенгламаси янги система тенгламаларини тузаётганда кдтнащиши керак.
Бу ерда курсатилган усулларни мисолларда тушунтирамиз.