Куринишга эга булганлиги учун

2-лемма. Ушбу
Гринли булиши учун А матрицанинг камида бирор нормасининг бирдан кичик булиши етарлидир.
Исбот. Юдорида таъкидланганидек, А^к ■■ * 0 нинг бажа-
рилиши учун бирор нормада || А* - 0 || —->0 нинг бажарили- ши етарлидир.
Аммо
|| Л* - 0 || = || А* || = \\А • #-% < М II * II /**-'11 й ... < || А ||*.
Демак, бирор нормада || А || <1 булса, у долда ЦА*|| >0,
яъни А^к ■ ■* Q булади.
3 - л е м м а. Матрицанинг барча хос сонларининг модули унинг ихтиёрий нормасидан ортмайди.
Исбот. Хос сон таърифига кура, шундай х * 0 вектор мав- жудки,
Ах = Ах
булади. Бундан эса || Л х | = | А | • Ц х ||. Пекин || А х | < || А |{ • || х ||, щунинг учун дам | А | < ]| А ||. Лемма исботланди.
Энди (7.15) матрицали геометрик прогрессиянинг ядинлаши- шига дойр теоремаларни исботлашга утамиз,
3 - теорем а. (7.15) даторнинг якинлашиши учун
А^к~т^ 0
нинг бажарилиши зарур ва етарлидир. Бу долда Е — А матрица­нинг тескариси мавжуд булиб,
Е + А + А² + ... + А + ... = (Е~А)-' тенглик Гринли булади.
И с б о т. Бу шартнинг зарурийлиги куриниб турибди, чунки сон- ли даторлар учун шунга ухшаш зарур шарт булиб, п — тартибли квадрат матрицанинг якинлашиши матрица элементларидан мос равищда тузилган л² та сонли даторларнинг ядинлашишига тенг кучлидир. Етарлилигини кУрсатамиз ва (7,15) даторнинг йигинди- сини топам из. Агар А^к _к^_к * 0 булса, у долда 1 -леммага кура А матрицанинг барча хос сонлари А₍. лар модуллари буйича бирдан дичик. Демак, £ — А матрицанинг хос сонлари 1 -А_; (/ = 1,2,..., п) булиб, нолдан фардлидир. Шунинг учун дам det (Е — А) * 0. Бун­дан эса Е — А матрицанинг махсусмаслиги ва (Е — А)'¹ нинг мавжудлиги келиб чидади.
Энди
(Е + А + А² + ... + А^к) (Е- А) = Е - А*"
лйниятни унг томондан (Е - А)^-1 га купайтириб,
Е + А + А¹ + ... + А^к = (Е ~ А)'¹ - А^к+1 • (Е - А)~‘ ни \осил киланиз. Бу ерда А^к*' - — 0 булганлиги учун
£ + А + А² + ... + А^к + ... = (£ - А)~^]
келиб чикдци. Шу билан теорема исбот булди.

1. 
   леммани хисобга олсак, бу як,инлашиш белгисини куйидаги- ча таърифлаш мумкин.
   

4-теорема. (7.15) кдтор яцинлашиши учун А матрицаниНг барча хос сонлари модуллари буйича бирдан кичик булиши зарур ва етарлидир.

2. 
   леммадан фойдаланиб, якинлашишнинг етарли шартини бе- риш мумкин. Бу шарт текширишларда анча кулайдир.
   

5. 
   теорема. Агар А матрицанинг бирор нормаси бирдан ки­чик булса, у холла (7.15) матрицали прогрессия як,инлашади.
   

Куйидаги теорема (7.15) каторнинг якинлашиш тезлигини аник~ лайди.

5. 
   теорема. Агар [| А || < 1 булса, у холла
   

|[(£ - А)~¹ -(£ + А + А²+...+А)\|< Jjppjf.
Исбот. || А || < 1 шарт бажарилганда (7.15) кдтор (Е — А)^-1 матрицага якинлашади, шунинг учун хам
(Е - АУ¹ - (£ + А + А² + ... + А^к) = А^к+1 + А^к+² + ... ва
|| (Е ~ А)-' - (Е + А + А¹ + ... А*)Ц < || А*⁺¹|| + || А^м\\ + ...
s|M Г + Ml*”+•••-{$}.
Демак, теорема исботланди.
8-§. ИТЕРАЦИОН МЕТОДЛАР
Энди итерацион методларни баён кил и ш га утамиз. Бобнинг бошида айтиб утилганидек, бу ерда аник ечим чексиз кетма-кет- ликларнинг лимити сифатида топилади.
Хозирги вактда хар хил принципларга асосланган холда жуда куп итерацион методлар яратилган. Умуман, бу методларнинг узига хос томонларидан яна бири шундан иборатки, улар уз хатосини узи тузатиб боради. Агар аник методлар билан ишлаётганда бирор
кадамда хатога йул куйилса, бу хато охирги натижага \ам таъсир к,ил ад и. Як,инлашувчи итерацион жараённинг бирор кдцамида йул цуйилган хато эса факат бир неча итерация цадамини ортикча бажаришгагина олиб келади холос. Бирор дадамда йул куйилган хато кейинги кадамларда тузатиб борилади. Методларнинг хисоб- лаш схемалари содца булиб, уларни ЭХМларда реализация килиш кулайдир. Лекин ,\ар бир итерацион методнинг кулланиш со\аси чегаралангандир. Чунки итерация жараёни берилган система учун узокдашиши ёки, шунингдек, секин якинлашиш и мумкинки, амал- да ечимни к°ни карли аникдикда топиб булмайди.
Шунинг учун хам, итерацион методларда факат якинлашиш масаласигина эмас, балки якинлашиш тезлиги масаласи хам катта а\амиятга эгадир. Якинлашиш тезлиги дастлабки якинлашиш век- торининг кулай та клан и ши га хам богликдир.
Бу параграфда аввал итерацион жараён куришнинг умумий принципини куриб чикамиз, сунгра эса хисоблаш амалиётида кенг Кулл а н и лад и га н итерацион методларни келтирамиз.

1. 
   Итерацион жараённи куриш лринциплари. Фа раз килайлик, махсусмас матрицали
   

(8.1)
Ах = b
система берилган булсин. Итерацион методларни кураётганда би­рор ихтиёрий дастлабки якинлашиш вектори х^(|)) олиниб, кейин­ги якинлашишлар х^ш, х^а\ ..., x^ik) куйидаги
(8.2)
рекуррент формула ердамида топилади, бу ерда/_к умуман олганда, А матрицага, озод хадлар вектори Ь га, якинлашиш номери к га ва дастлабки якинлашишлар х⁽⁰⁾, х^(1>, ..., х^(к) га боглик булган Кандайдир функциядир.
Агар f_k факат х<^к) га боглик булиб, x^(U), х⁽*^_|> ларга
боглик б^лмаса, у холда итерация методы биринчи тартибга эга дейилади. Arap/j. функцияси к га боглик булмаса, итерация мето­да стационар дейилади. Албатта, /_к функциянинг энг соддаси чи- зикди функциядир. Кетма-кет якинлашишларнинг биринчи тар- тибли энг умумий чизикди методи куйидаги


(8.3)
х {k+Y)—g^ д. (Г)^. _с Ш
кури ниш га эга булиб, бу ерда В_к — квадрат матрица ва 6^к) вектор. Биз (8.2) ва (8.3) итерацион методларга табиий равишда (8.1) нинг аник ечими х* = А~¹ b кузгалмас нукта булиши керак, яъни х⁽⁰⁾ сифатида аник ечим х* олинганда кейинги якинлашишлар хам х * га тенг булиши керак деган талабни куйишимиз керак. Бу эса биринчи тартибли чизикди метод учун ушбу
ёки

e = (0, ..., 0, l_(t+l), 0, 0) 127
х, +... + а. 127
II X ||з=!1 X 11= VI ^1 Р +1 *2 I² +-+ К I¹* (7-6) 131
||х<°>|| = 1,1М11 = М^^№11 135
1 ^ XI % I* «их XI^а* I = £I ^ад I 136
2Х 136
= хы 136
= XI^aJk l^maxEl^a<* I- (7.14) 136
^XXk* I-U* 1^ 136
II Я" ||,= £ 136
= XI Щ |= max XI а,* 136
о о о ... я_ 141
J = 0. 1, я»,- 1 УЧУ» 142
HI* 150
< 1, 151
^ <1, 151
КМ. 151
Z 151
к - s 21II I + 2 КI - ^хГ I* 157
li 2K l + l llj У |a,_y | 157
\\х - *<**!, < Р ||х - х⁽*^+п1|, + tfjx 158
||*-*⁽*^+,) ||, < Mi*' || х - x^w ||, 158

ни хосил циламиз. Табиийки, бу ерда
D_k + F_k = A (8.10)
тенглик бажарилиши керак. (8.9) тенглик х<*^+1> ни ошкормас кури- нищда аницлайди. Шунинг учун хам D_k шундай матрица бучшши керакки, D_k^] ни топиш цийин булмасин. ОдатдаD_kсифатида диа- гонал ёки учбурчак матрица олинади. Биринчи \олдаметод тулик %адамли, иккинчи холда эса бир %адаши дейилади.
Кетма-кет якинлашишлар, биринчи тартибли чизицли метод- ларнинг турли куринишлари асосан (8.7) — (8.10) формулалар ёрдамида амалга оширилади. Жуда куп чизикди ва чизицли булма- ган кетма-кет яцинлашиш методларини
/(х) = || Ax-bf
функционални энг киник квадратлар методы ёки бошца методлар билан минималлаштириш натижасида хосил цилиш мумкин.