Куринишга эга булганлиги учун

И с б о т. Куйидаги белгилашларни киритамиз:
^a9=-W’&⁼W>^tts’^m?^x £ К^I' (8.32)
Фараз килайлик, биринчи шарт бажарилсин у колда /< < 1 булади. Бу белгилашларда Зейдел методи ушбу

*<*♦!)

= 2a_sk*^+l> + 2 ^ао^хТ⁺ А

(8.33)

схема буйича олиб борилади. Бундан ташкари теореманинг би­ринчи шарти бажарилганда х =Вх +с система ягона ечимга эга, бу ечимни масалан, оддий итерация билан топиш мумкин. Демак,
П
*/ = 2 ^aa^xi + А- (8.34)
j-u*'
(8.34) дан (8.33) ни айириб модулларга утсак,


/-I
к - s 21II I + 2 КI - ^хГ I*


/-1
< max| Xj -xf⁺¹⁾ | У | a_g | + max | x_y - xf j У |a_# | =
¹ >=i ¹ j-i+i

=11 x - x<*⁺¹>
li 2K l + l llj У |a,_y |
келиб чикади. Куйидаги
P, = 2K l>ft ⁼ £ К I
j=i+l
белгилашларни киритсак,
| x, - x<*^+,) j< ^ || x - х<*⁺¹> Ц +q, || x - x⁽*> I, (8.35)
булади. Фараз Килайлик, max|x,-x_f⁽*⁺¹⁾| га / = s = s(k) булганда эришилсин: ¹

У вацтда (8.35) да i=s деб олиб,


- 3c^w|L
\\х - *<**!, < Р ||х - х⁽*^+п1|, + tfjx
ёки
И *_*<*♦*> 1), тенгсизликка эга буламиз. Агар
Mi = шах ^
деб олсак, у колда
II*-*⁽*⁺¹⁾||, й/*,||х-.х<*>||_| (8.36)

тенгсизликка эга буламиз.
Энди д, < ц эканлигини курсатамиз. Хак,ик,атан кам, (8.32) га кура

	Р, + Я, = ± 1 £ М
булганлиги учун	я,* м- Рг
Демак,	9,- ^ 1*~^р1 ^ _ 1 ~^pi i~^pi ~ 1 -В
Бундан эса

Mi ^М (8-37)
келиб чикади. (8.36) тенгсизликдан
||*-*⁽*^+,) ||, < Mi*' || х - x^w ||,
ни косил киламиз. Бу эса теореманинг биринчи шарти бажарил- ганда Зейдел методининг я ки нлаш ишлигини билдиради. (8.37) тенгсизлик эса Зейдел методининг якинлашиши оддий итерация методига нисбатан секин эмаслигини курсатади.
Энди теореманинг иккинчи шарти бажарилганда Зейдел мето­дининг якинлашишлигини курсатамиз.
Я
Биз бу ерда д' = £ | а_# | деб оламиз.
Фараз цилайлик, х =( х х_2> ва х^{к> = (.v₁⁽ⁱ⁾,xf⁾_>...,x'ⁱ⁾)' мое равишда х = Вх + с системанингечими ва Зейдел жараёни- нинг к — якинлашиши булсин. У колда

I -4* 11=11 =4(||х |]y^t0)) ||=IIУ ||' || Ау^т ||<|х || max \\Ау \\=\\А\\-\\х\.
М=1
Энди 4) шартни текширайлик. Худци аввалгидек АВ матрица учун шундай х<°> топиладики, у куйидаги тенгликларни кдноат- лантиради:
||х⁽⁰>]|=1 ва \\АВ х«»|| = ||ЛЯ||,
у холда

I ^xs - i= max I ^xi ~ х,*⁺¹⁾ i = |l x - x⁽*⁺¹⁾ I, .
I