Куринишга эга булганлиги учун

2. Векторлар ва матрицалар кетма-кетликларининг якршлашнш- лари. Фараз к,илайлик,
x^w=(x_l⁽ⁱ>,x^,...,x^r (к= 1,2,...)
векторлар кетма-кетлиги берилган булсин. Агар и та чекли
X: = lim x,^w (/ = 1, n)
А-**
лимитлар мавжуд булса, у \олда х = (х_р х₂, xj вектор (х <*'} векторлар кетма-кетлигининг лимиты дейилади ва бу кетма-кет- ликнингузи х векторга якинлашади дейилади.
Шу каби
A^{k>=[af) (i,j = 1,л ; к = 1,2,...)
матриц ал ар кетма-кетлиги берилган булиб, п² та а., = lim ли-
митлар мавжуд булса, у ^олда A=[a_:Ji матрица {А^ш\ матрицалар кетма-кетлигшшнг лимиты дей илади.
Бу таърифга кура, агар матрицалардан тузилган чексиз катор кисмий йитиндилари кетма-кетлиги ни нг лимити мавжуд булса, у \олда бу катор якинлашувчи дейилади. Бу лимит берилган катор- нинг йигиндиси дейилади.
Куриниб турибдики, матрицали каторнинг якинлашувчи були- ши учун матрицанинг мое равишдаги элементларидан тузилган барча п² та каторнинг якинлашувчи буди ши зарур ва етарлидир. Шу билан бирга бу каторларнинг йитиндилари берилган матри­цали катор йигиндисининг элементлари булади.
Вектор нормаси тушунчаси асосида векторлар кетма-кетлиги- нинг якинлашишини бошкача таърифлаш \ам мумкин. Таъриф. Агар
II >0
булса, {х^а>} векторлар кетма-кетлиги х векторга якинлашади де­йилади.
Бу таъриф якинлашишнингаввалги таърифига эквивалент экан- лигини исботлаш мумкин.

2. 
   теорема. Ушбу
   

х ^т -* X
уринли булиши учун,
\\х-х^ II - _А.->0 булиши зарур ва етарлидир.
Бошка суз билан айтганда, чекли улчовли чизикли фазода нор­ма буйича якинлашиш координатлар буйича якинлашишга тенг кучлидир.
Исбот (зарурлиги). Фараз килайлик, ■ - -»ь яъни
барча <= 1, 2, ..., п учун Urn*!*’ = х, б^лсин. Куйидаги ё_{, ё₂, ... , ё_п базис-векторларни танлаб а-х^(Ю ни шу векторлар буйича ёямиз:
х-х^а) = £(х,-х<*>)ё, (jfc =i_f 2, ...)
Агар L - max || e. || каби белгиласак, у ^олда
\\Х-Х<^к> \.
Шунинг учун хам
I—
Етарлилиги. Фараз килайлик
Um Ц х - *<*> ||=0
будсин. У \олда
\\х^(к}\\ = (|х+ (х^№-х)|| < ||х|1 + Цх<*> -х||
булганлиги сабабли, || х ^(W|| барча к = \, 2,... лар учун чегараланган, яъни |)х^ш |5 <, М (к = 1, 2, ...) булади. Энди ихтиёрий к = 1,2, ... учун а_к =jjcf^k>| +.,.+ lx]_t^it)i нинг ^ам чегараланганлигини, яъниа_к < N (к — 1, 2, ...) эканлигини курсатамиз.
Тескарисини фараз килайлик, яъни шундай k_r к₂, ... индекс - лар кетма-кетлиги мавжуд булсинки: <*_кт—]~zz—*^а> булсин.
Ёзувни кискартириш максадида а_к—^—*■«= деб \исоблайлик. Берилган векторлар кетма-кетлиги {5с^<к)) га кура янги векторлар кетма-кетлиги
... Х*’**
ни курамиз. Бу ерда у/ = эканлигини хисобга олсак,
^ак
|уПНуЛ+...+1уП=1 (Л = 1,2,...)
эканлиги ва у ^ш ларнинг барчаси чегараланганлиги келиб ч и кади. Шунинг учун хам шундай индекслар кетма-кетлигини танлаш мумкинки, чекли лимитлар
(А= 1, 2, .... л)
мавжуд булади ва |у,| + |у₂| + ...+ |у_л| = 1 булганлиги учун лимит вектор
у = (у„у_г, ...,у_яу
нолдан фаркдидир.
Иккинчи томондан || х |j < М ва фаразга кура а_к —^—»■ <» эканлигини хисобга олиб,
II V II = II у^т + (у - y^ik) II + II у^т || + || У “ у ^и> (|= + II У ~ y li
^ак
(*=1,2,...)
тенгсизликдан 4-м» да лимитга Утиб ||у| = 0, яъни у= 0 ни \осил циламиз. Бу кар ама- к,ар ш и лик а_к < N (* = 1, 2, ...) эканли- гини, яъни векторлар коорд и наталарининг барчаси чегаралан-
ганлигини курсатади. Бундан эса шундай индекслар кетма-кетли- гини танлаш мумкинлиги ва бу индекслар учун £/ = HmxJ^ (/= 1, 2,...,) чекли лимитларнинг мавжудлиги келиб ч и кади. Лимитдаги | = (|_р £₂,..., £_я) векторнинг х = (л^-,, х₂, ...,х_я) вектор бидан устма- уст тушишини курсатамиз.
Хаки катан *ам, теорема шартига кура || х - x^ik) || ——» 0 ва теореманинг зарурий кисмидан ||£ - х ^W)|| -* 0 эканлиги куриниб, барча *=1,2, ... лар учун
II* - III = II (х-х^№) + (х<*> - I" )|| s || х -x^w|| + Цх<*> - £||
тенгсизликлар бажарилади. Демак, ||х || = 0, яъни £ = х. Шу
билан теорема исбот булди.
Бу теоремадан норманинг узлуксизлиги келиб ч и кади. Худди шунга ухшаш матрицалар учун дам А^т~-^г*А булиши учун \\А-А^1к)\\ _Ыа*0 нинг бажарилиши зарур ва кифоялилигини курсатиш мумкин. Бунинг ёрдамида матрицалар кетма-кетлиги- нинг якинлашишини бошкача таърифлаш мумкин.
Энди (7.7) тенгсизликдан куйидаги келиб чикади: агар А^щ -_к-~*А булса, у долда |М⁽*>||
3. Матрицали геометрик прогрессиянинг якинлашиши. Бизга анализдан маълумки, 1 + х + х² + ... + х* + ... сонли геометрик прогрессиянинг якинлашувчи булиши учун х* ^ * 0 булиши зарур ва кифоя булиб, шу билан бирга унинг йигиндиси (1 — л)¹ га тенгдир.
Энди бу тасдикларнинг куйидаги
Е + А + А¹ + ... + А^к + ... (7.15)
матрицали геометрик прогрессия учун кам Уринли эканлигини курсатамиз. Бунинг учун аввал куйидаги бир неча ёрдамчи тас- дикдарни куриб чикайлик.
1 - л е м м а. Ушбу
A^k-TZT 0
уринли булиши учун, А матрицанинг барча хос сонларининг мо~ дуллари бирдан кичик булиши зарур ва кифоядир.
И с б о т. Исботни бошлашдан аввал алгебрадан айрим тушун- чаларни эслатиб утамиз. Агар шундай махсусмас В матрица мав- жуд булиб.
А, = В-' АВ
тенглик уринли булса, у холла Л, матрица А матрицага ухшаш дейилади, Куриниб турибдики, агар Л, матрица А га ухшаш б^лса, у холда А \ам А_{ га ухшаш булади. Ухшаш матрицалар бир хил хос сонларга эга. Хакикатан хам,
det (АВ) = det A det В, det B~^l det В = det В-' В =1
булганлиги учун:
det (Л, -Я£)= det (.В~'АВ-В~'\В)= det (#¹ (.А~ЛЕ)В)=
= det B~^l det (Л - Я£) det В = det (А - Д£),
яъни бу матрицалар бир хил характеристик детерминантларга эга.
Яна маълумки, ухшаш алмаштиришлар ёрдамида, ихтиёрий п — тартибли А матрицани унинг Жордан формасидаги каноник шакли- га келтириш мумкин:
1=В~¹АВ (7.16)
Бу ерда
/»[/_И|<Л₁),/_Я1(А_а),...,/_Чг( А,)] (7.17)
квазидиагонал матрицадир ва г бир томондан
"Я I о... О'
о о о ... я_
Жордан катакларининг сонини билдирса, иккинчи томондан у А матрицанинг чизиьуш эркли хос векторларининг сонидир, шу билан бирга т₍ + т_г + ... + т_г — т булиб, т. 1_т.(Я.) нинг тартиби- дир. (7.16) дан куйидагиларни ёза оламиз:
Л = BI’ в-\
A^k = В1-В~'В1‘В-¹ ... В1‘ B-^BIB-K
Демак, Л*—булиши учун 1^к _к^_а >0 булиши зарур ва етарлидир. (7.17) дан курамнзки,
/‘^(ЯД/^),...,/*/^)].
Шунинг учун х,ам А^к » 0 булиши учун барча /=1, 2, г ларда /*.(Л,)нииг ноль матрица га интилиши зарур ва етарлидир. Матрицаларни купайтириш коидасига кура:

А; 1 0...0"		1 о о		г*— О О <4- см ^*4
0 А, 1...0	•	0 X, 1...0	=	0 к) 2А,. 1... 0
0 0 О...А,_		0 0 0...А,.		0 0 0 0... А*_

Математик индукция ёрдамида к> m_j булганда куйидагини ,\осил цилам из:

	Га*	ФГ	W^Af	С ^т* ^ А*" ^
	0	А	Ф*Г* •	^ mj -2 mt- +2
	0	0	0	А .

j*	(4> №
А/	1! 2!	(*,-»!
о	A*
	^Ai ~1Г~	" (Щ-2)!
0	0 о .	- А

Бу ерда кулайлик учун дифференциаллаш амалини киритдик. /*.(А,) матрицанинг диагонал элементлари Л) дан иборат. Шу­нинг учун \ам /*(А,-) нинг ноль матрицага интилиши учун |А. | < 1 булиши зарурдир. Лекин бу шартнинг бажарилиши /*.(А,) нинг ноль матрицага интилиши учун етарли \амдир, чунки ихтиерий

J = 0. 1, я»,- 1 УЧУ»
of)U) „а
j | '•’*
Шундай килиб, лемма исботланди. Леммадаги якинлашиш бел- гиси амалий масалаларда нокулайлик тувдириши мумкин, чунки у А матрицанинг хос сонлари хаки да аник маълумот талаб килади. Куйидаги белги анча кулайдир.