Kurs ishining dolzarbligi
-§. Bir o`zgaruvchili funksiya uchun bir tomonlama va x → ∞ dagi limitlar
Download 483.85 Kb.
|
sobirova04.21bir necha
- Bu sahifa navigatsiya:
- 3. Limitlar haqida asosiy teoremalar. Cheksiz kichik va cheksiz katta funksiyalar. Limitlar haqidagi asosiy teoremalar
- M → M 0 da cheksiz kichik funksiya
- M → M 0 da cheksiz katta funksiya
3-§. Bir o`zgaruvchili funksiya uchun bir tomonlama va x → ∞ dagi limitlar.
Bir o`zgaruvchili y = f (x) funksiya biror V = (a; ∞) nurda aniqlangan bo`lsin (2-rasm). Har qanday ε > 0 son uchun shunday K > 0 sonni ko`rsatish mumkin bo`lsaki, barcha | x | > K munosabatni qanoatlanti-ruvchi x lar uchun |f (x) – b | < ε tengsizlik o`rinli bo`lsa, b soni f (x) funksiyaning x → ∞ dagi limiti deyiladi. 4 – rasm. y = f (x) funksiyaning x → - ∞ dagi limiti ham yuqoridagidek ta`riflanadi. Masalan, 1) , chunki x → + ∞ da → 0; 2) , chunki x → - ∞ da → + ∞ ; 3) . Bir o`zgaruvchili y = f (x) funksiya x < x0 da aniqlangan bo`lib, x0 nuqta aniqlanish sohasining quyuqlanish nuqtasi bo`lsin (3–rasm). Har qanday ε > 0 son uchun δ1 > 0 sonni ko`rsatish mumkin bo`l-saki, x0–δ1< x < x0 shartni qanoatlantiruvchi barcha x lar uchun |f (x) –b1| < ε tengsizlik bajarilsa, b1 = f (x0–0) son f (x) funksiyaning x→x0 da chapdan limiti deyiladi va ko`rinishda yoziladi. y = f (x) funksiyaning x → x0 da o`ngdan limiti ham shunga o`xshash aniqlanadi va ko`rinishda yoziladi (5– rasm ). 5-rasm.
y = f (x) funksiyaning x0 nuqtada limiti, funksiya shu nuqtada chapdan va o`ngdan limitlarga ega bo`lib, f (x0–0) = f (x0+0) tenglik bajarilganda, mavjud bo`ladi. 3. Limitlar haqida asosiy teoremalar. Cheksiz kichik va cheksiz katta funksiyalar. Limitlar haqidagi asosiy teoremalar quyidagilardan iborat: 1. Agar y = f (M) = C (C – o`zgarmas) bo`lsa, u holda . 2. mavjud bo`lsa, u holda ixtiyoriy k son uchun 3. Agar va mavjud bo`lsa, a) ham mavjud bo`ladi va . b) mavjud bo`ladi va c) o`rinli bo`lganda, ham mavjud bo`ladi va . d) M0 nuqtaning biror atrofida f (M) ≤ g(M) munosabat bajarilsa, u holda tengsizlik ham o`rinli bo`ladi. Limitlar haqidagi teoremalar bir va ko`p o`zgaruvchili funksiya li-mitlarini hisoblashda qo`llaniladi. Masalan, . Agar bo`lsa, α(M) funksiya M → M0 da cheksiz kichik funksiya deyiladi. Xususan, agar bo`lsa, bir o`zgaruvchili α(x) funksiya x → x0 da cheksiz kichik deb ataladi. Masalan, funksiya x → -1 va x → ∞ larda cheksiz kichik funksiyadir. Cheksiz kichik funksiya o`zining quyidagi xossalariga ega: 1) M → M0 da α(M) cheksiz kichik funksiya bo`lib, f (M) = b + α(M) bo`lganda, mavjud va aynan b ga tengdir; 2) chekli sondagi va har biri M → M0 da cheksiz kichik funksiyalarning yig`indisi yoki ko`paytmasi cheksiz kichik funksiyalardir. 3) M → M0 da cheksiz kichik funksiyaning, M0 nuqtaning biror atrofida chegaralangan funksiyaga ko`paytmasi, cheksiz kichik funksiyadir. Agar (yoki - ∞) bo`lsa, γ(M) funksiya M → M0 da cheksiz katta funksiya deyiladi. Xususan, agar (yoki - ∞) bo`lsa, γ(x) funksiya x → x0 da cheksiz katta bir o`zgaruvchili funksiya deb ataladi. Masalan, funksiya x → 0 da cheksiz kattadir. 4. Ekvivalent cheksiz kichik funksiyalar. Funksiyalarni taqqos-lash. Bir o`zgaruvchili f (x) va g(x) funksiyalar berilgan bo`lib, x ≠ x0 da f (x) ≠ 0, g(x) ≠ 0 va mavjud bo`lsin. U holda, quyidagi h hollarning biri o`rinli bo`ladi: a) Agar l ≠ 0 va l ≠ ∞ bo`lsa, f (x) va g(x) funksiyalar x → x0 da teng tartibli funksiyalar deyilib, f (x) = 0*(g(x)) ko`rinishda yoziladi; S b) Agar l = 1 bo`lsa, f (x) va g(x) funksiyalar x → x0 da ekvivalent yoki teng kuchli deyilib, f (x) g(x) yozuvda ifodalanadi; c) Agar l = 0 bo`lsa, f (x) funksiya x → x0 da g(x) funksiyaga nisbatan yuqori tartibli kichik deyiladi va f (x) = o(g(x)) yozuvda yoziladi; d) Agarda l = ∞ bo`lsa, unda g(x) = o(f (x)). Masalan: 1. x → 0 da tg(2x) = 0*(5x), chunki . 2. x → 0 da x3 = o(x2), chunki . 3. x → ∞ da x2 = o(x3), chunki . S 4. x → 0 da tg 2x sin 2x, chunki . Agar x → x0 da α(x) funksiya cheksiz kichik bo`lsa, quyidagi teng kuchliliklar (ekvivalentliklar) o`rinli: S S S 1. sin α(x) α(x); 2. tg α(x) α(x); 3. arcsin α(x) α(x). S S 4. arctg α(x) α(x); 5. loga [1 + α(x)] α(x) logae. S S S 6. ln[1 + α(x)] α(x); 7. 1 – cos α(x) . S S 8. aα(x) - 1 α(x) lna; 9. eα(x) - 1 α(x). S S 10. [1 + α(x)]n - 1 n α(x); 11. . Yuqorida keltirilgan ekvivalentliklardan funksiyalar limitini hisob-lashda foydalanish maqsadga muvofiq. Masalan, . Download 483.85 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: |
Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling
ma'muriyatiga murojaat qiling