Курсовая работа по дисциплине «Геометрия»

З адача 1. С какой силой F надо удерживать груз весом Р на наклонной плоскости, чтобы он не сползал вниз (см. рисунок 8). [4]
Решение. Пусть О – центр тяжести груза, к которому приложена сила Р. Разложим вектор по двум взаимно перпендикулярным направлениям, как показано на рисунке. Сила перпендикулярна наклонной плоскости и не вызывает перемещения груза. Сила , удерживающая груз, должна быть равной по величине и противоположной по направлению силе . Поэтому .
Задача 2. Докажите, что точка Х лежит на прямой АВ тогда и только тогда, когда для некоторого t и любой точки O. [5]
Решение. Точка Х лежит на прямой АВ тогда и только тогда, когда , т.е. .
Задача 3. Дано несколько точек и для некоторых пар (А,В) этих точек взяты векторы , причем в каждой точке начинается столько же векторов, сколько в ней заканчивается. Докажите, что сумма всех выбранных векторов равна . [5]
Решение. Возьмем произвольную точку О и запишем все выбранные векторы в виде . В силу условия задачи каждый вектор , в сумму всех выбранных векторов войдет со знаком "плюс" столько же раз, сколько и со знаком "минус". Следовательно, сумма этих векторов будет
равна .

§6 Умножение вектора на число

Произведением вектора на число называется вектор , т.е. .

Операция умножения вектора на число обладает следующими свойствами для любых векторов и любых чисел:
1) , ;
2) (ассоциативность);
3) (дистрибутивность относительно векторного мно­жи­теля;
4) (дистрибутивность относительно числового множи­теля.
Теорема. Абсолютная величина вектора при совпадает с направлением вектора , если , и противоположно направлению вектора , если .
Д
оказательство. Построим векторы и , равные и соответственно (О – начало координат). Пусть и - координаты вектора . Тогда координатами точки А будут числа и , а координатами точки В будут и (см. рисунок 9). Уравнение прямой ОА имеет вид: .
Так как уравнению удовлетворяют координаты точки , то ему удовлетворяют и координаты точки . Отсюда следует, что точка В лежит на прямой ОА. Координаты и любой точки С, лежащей на полупрямой ОА, имеют те же знаки, что и координаты и полупрямой, дополнительной к ОА, имеют противоположные знаки.
Поэтому если , то точка В лежит на полупрямой ОА, а следовательно, векторы и одинаково направлены. Если , то точка В лежит на дополнительной полупрямой, векторы и противоположно направлены.
Абсолютная величина вектора равна:
.
Теорема доказана.