Курсовая работа по дисциплине «Геометрия»

§9 Разложение вектора по координатным осям

В ектор называется единичным, если его абсолютная величина равна единице. Единичные векторы, имеющие направления положительных координатных полуосей, называются коор­ди­нат­ными векторами или ортами. Обычно их обоз­начают следующим образом на оси х и на оси у (см. рисунок 12).

Так как координатные векторы отличны от нуля и не коллинеарны, то любой вектор допускает разложение по этим векторам:
. (*)
Найдем коэффициенты и этого разложения. Умножим обе части равенства (*) на вектор . Так как
, , , то .
Аналогично, умножая обе части равенства (*) на вектор получим .
Таким образом, для любого вектора получается разложение
.
Задача 1. Найти координаты единичного вектора, одинаково нап­равленного с вектором (3;4).
Решение. Длина вектора равна . Длина единичного вектора , направленного одинаково с вектором , равна единице.
Чтобы вычислить координаты вектора , разделим обе части предыдущего равенства на :
.
Следовательно, координаты единичного вектора , одинаково направленного с вектором , равны .

Заключение

1. Даны вектор и точка С. Отложите от точки С вектор, равный вектору , если: 1) точка С лежит на прямой ; 2) точка С не лежит на прямой .

2. Векторы , , отложены от начала координат. Чему равны координаты их концов?
3. Даны векторы: (-3;-1), (4;0), (5;-2). Найти координаты векторов:
а) 2 ; б) - +3 ; в) 2 +3 -5 ; г) .
4. Воспользовавшись условием коллинеарности двух векторов, выяснить, коллинеарны ли векторы:
а) и , б) и .
5. Докажите, что для векторов , и имеет место неравенство .
6 . К горизонтальной балке на двух равных нитях подвешен груз весом Р. Определите силы натяжения нитей (рисунок 13).
7. В треугольнике ABC проведена медиана АМ. Докажите, что .
8. Найдите угол между векторами и .
9. Даны четыре точки А(0;0), В(1;1), С(0;2), D(-1;1). Докажите, что четырехугольник АВСD – квадрат.
10. Даны вершины треугольника А(1;1), В(4;1), С(4;5). Найдите косинусы углов треугольника.
11. Доказать, что точка М пересечения медиан треугольника с вершинами в точках , , имеет координаты:
; .
12. Докажите, что геометрическое место точек, сумма квадратов расстояний от которых о двух данных точек постоянна, есть окружность с центром в середине отрезка, соединяющего данные точки.
13. Докажите, что проекция вектора на ось абсцисс с координатным вектором задается формулой , где .