Курсовая работа по дисциплине «Геометрия»

§3 Равенство векторов

“Два вектора называются равными, если они одинаково направлены и имеют равные длины.” [1] Такое определение дается в пособии Герасимовича А.И.

В учебнике Погорелова А.В. [4] определение дается через понятие параллельного переноса: “Два вектора называются равными, если они совмещаются параллельным переносом. Это означает, что существует параллельный перенос, который переводит начало и конец одного вектора, соответственно в начало и конец другого вектора.
Из данного определения равенства векторов следует, что равные векторы одинаково направлены и равны по абсолютной величине.
О братно: если векторы одинаково направлены и равны по абсолютной величине, то они равны.”
Рассмотрим наглядно. На рисунке 3 изображены векторы и одинаково направленные и равные по модулю. При параллельном переносе точка С переходит в точку А, совмещая, таким образом, полупрямую CD с полупрямой АВ, так как они одинаково направлены (а соответственно и коллинеарны). Так как векторы равны, то при осуществляемом нами параллельном переносе точка D совмещается с точкой В, а следовательно вектор переходит . Следовательно, векторы и равны, что и требовалось доказать.

§4 Координаты вектора

Пусть вектор имеет началом точку А₁(х₁;у₁), а концом точку А₂(х₂;у₂) (см. рисунок 4).

К оординатами вектора будем называть числа а₁=х₂-х₁, а₂=у₂-у₁. Принято записывать (а₁;а₂) или просто . Координаты нулевого вектора равны нулю.
Применив формулу, выражающую рас­стояние между двумя точками по их координатам, выводится формула определения абсолютной величины (модуля) вектора с координатами а₁ и а₂, которая будет равна .
Теорема. Равные векторы имеют равные соответствующие координаты. Обратная: если у векторов соответствующие координаты равны, то векторы равны.
Данную теорему и обратную ей можно доказать двумя способами.
Доказательство 1. Пусть А₁(х₁;у₁) и А₂(х₂;у₂) – начало и конец вектора . Так как равный ему вектор получается из вектора параллельным переносом, то его началом и концом будут соответственно , . Отсюда видно, что оба вектора и имеют одни и те же координаты: х₁-х₂, у₁-у₂.
Обратное утверждение доказывается следующим образом. Пусть соответствующие координаты векторов и равны. Докажем, что векторы равны.
Пусть и - координаты точки , а и - координаты точки . По условию теоремы: , . Отсюда , . Параллельный перенос, заданный формулами
, ,
переводит точку А₁ в точку , а точку А₂ в точку , т.е. векторы и равны, что и требовалось доказать.
Доказательство 2. Пусть векторы и равны. Это значит, что они имеют одинаковые направления и равные длины: (см. рисунок 4). прямоугольные треугольники А₁А₂А и В₁В₂В равны по гипотенузе и острому углу. Из их равенства следует равенство катетов: А₁А=В₁В и АА₂=ВВ₂ или, учитывая координаты точек А₁(х₁,у₁), А₂(х₂,у₂), В₁(х₃,у₃), В₂(х₄,у₄), получим х₂-х₁=х₄-х₃ и у₂-у₁=у₄-у₃ .т.е. координаты равных векторов равны.
Пусть координаты векторов и равны. Тогда катеты прямоугольных треугольников А₁А₂А и В₁В₂В равны и DА₁А₂А=DВ₁В₂В. Из равенства треугольников следует равенство гипотенуз А₁А₂ и В₁В₂, т.е. , и параллельность прямых А₁А₂ и В₁В₂, так как ÐА₁А₂А=ÐВ₁В₂В. Следовательно, векторы и равны, так как они имеют одинаковые направления и равные длины. Что и требовалось доказать.