квадратур формуланинг коефитциентлари,, фазонинг елементи

Теорема 1.7. ва учун фазодаги Сард маъносида (1.65) кўринишдаги oптимал квадратур формуланинг коэффициентлари қуйидаги кўринишга эга






бу ерда







1.7. теореманинг исботи.
Аввал (1.78) ва (1.79) системани свёрткаларда тенгламалар кўринишида ёзамиз
бунда (1.82)
бунда
(1.83)
билан белгилаймиз.
бўлсин, у холда

Демак, (1.83) ни ҳисобга олсак, биз қуйидагига эга бўламиз:
(1.84)
бу ерда

бўлсин, у холда
(1.85)
бу ерда

_{Демак, (1.84) ва (1.85) тенгликдан} қуйидаги кўринишга эга
(1.86)
Энди ва номаълум коеффициентларни аниқлаймиз. Бунинг учун (1.86) да ва тенгликдан қуйидаги

муносабатларни оламиз.
Энди биз маълум оператордан фойдаланамиз.
(1.87)
Бу оператор

тенгликни қаноатлантиради, бунда -дискрет дельта-функцияси

Бу ва таърифдан
(1.88)
келиб чиқади.
(1.88) даги свёрткани ҳисоблаймиз ва (1.86) ва (1.87) дан фойдаланиб, биз


(1.89)
га эга бўламиз.
Энди фазода (1.65) кўринишдаги квадратур формулаларнинг оптимал коэффициентларини ҳисоблаймиз.


, ва учун (1.89) тенгликдан баъзи ҳисоблашлардан сўнг, биз


га эга бўламиз. Энди (1.80) ва (1.81) тенгликни ҳисоблаймиз










1.7. теорема тўлиқ исботланди.