квадратур формуланинг коефитциентлари,, фазонинг елементи

1.1-масала Кўри чиқилаётган (1) квадратур формуланинг хатолик функционали нормасининг кўринишини топиш.
коеффициентларни ўзгартириш орқали оптимал квадратур формулани қуриш учун, қуйдаги масалани хал қилишимиз керак.
1.2-масала (1.4) тенглик бажариладиган коеффициентларнинг шундай қийматларини топиш.
1.1. - муаммони хал қилиш учун, яни фозодаги хатолик функционали (1.2) нормасини топиш учун экстримал функциядан фойдаланилади. Функция [58] функциянинг экстримал функцияси дейилади, агар
(1.5)
фазодаги экстримал функция Гилберт фазоларида чизиқли узлуксиз функционалнинг умумий шакли хақидаги Рисс теоремаси ёрдамида [59] ифодаланади.
. (1.3) тенгликни бўлаклаб интеграллаймиз
(1.6)
Бошқа томондан, Гилберт фазоларида чизиқли функционалнинг умумий шакли хақидаги Рисс теоремаси орқали биз қуйдагига ега бўламиз
(1.7)
ва , бунда , . (1.6) ва (1.7) тенгликларидан келиб чиқади

бундан
(1.8)
Ма'лумки [58] фазо фазода зич бўлиб, яни биз фозодаги функцияларни ихтиёрий равшда дан бошлаб функциялар кетма-кетлиги билан аниқ белгилашимиз мумкин. да, скаляр кўпайтмани марта интегралласак, бизда қуйдаги хосил бўлади


Хар қандай учун функциянинг ягоналигидан ( даражали кўпхаднинг аниқлиги билан) (1.8) тенгликни хисобга олган холда, қуйдагилар бажарилиши керак.
(1.9)
(1.10)
Теорема 1.1. (9)-(10) чегаравий масалада эчим фазодаги (1.2) хатолик функционалининг экстримал функцияси бўлиб, қуйдаги кўринишга эга:



бунда
(1.11)
тенгламанинг эчимидир

- даражали кўпхад, малум бўлган делта функция.
Исбот. Ма'лумки, бир жинсли бўлмаган дифференциал тенгламанинг умумий эчими бир жинсли бўлмаган дифференциал тенгламанинг хусусий эчими ва унга мос бир жинсли дифференциал тенгламанинг умумий эчимлари йиғиндисига тенг.
(1.9) дифференциал тенглама учун мос келадиган бир жинсли тенглама қуйдагича бўлиб
(1.12)
умумий эчимга ега.
Хақиқатдан хам, характерстик тенгламанинг (1.12) илдизи бўлган кўринишга ега. Бу ерда 2m даражали кўпхаднинг илдизидир.
(1.9) дифференциал тенгламанинг эчими

бунда - (1.11) тенглик билан аниқлқнади. Дархақиқат, ни (1.9) тенгликка тўғридан-тўғри алмаштириш орқали буни текшириш мумкин.


Бу шуни англатадики, агар операторнинг фундаментал эчимини топсак, у холда (1.9) тенгламанинг хусусий эчими малум бўлади.
Умумий холда операторнинг фундаментал эчимини топиш қуйдагича бўлиб

бунда - ўзгармаслар, [48] да қуйдаги қоида берилган: ни га алмаштириш, кўпхад тузилган, ифода оддий касрларга ажратилган.

Ва хар бир оддий каср билан боғланган
(1.13)
Ушбу қоидадан фойдаланиб, биз асосий эчим оператори ни топамиз, бунга мос кўпхад қуйдаги шаклга эга

кейин
(1.14)
(1.14) дан (1.13) ни хисобга олган холда бизда бор бўлиб бу оператор нинг асосий эчимидир.
Шундай қилиб, (1.9) тенгламанинг қуйдаги умумий эчимига эга бўламиз:

бунда - - даражали кўпхад.
функция фазода ягона бўлиши учун ( даражали кўпхадгача) у (1.10) шартларни қаноатлантириши керак. Бунда хосилалар умумий манода тушинилади:


бунда
.
(10) шартни хисобга олган холда , учун

ни оламиз. Демак, свёртка тарифидан фойдаланиб, учун
(1.15)
да
(1.16)
ва нинг тарифини хисобга олиб, (1.15) ва (1.16) дан қуйдагини оламиз


(1.17)
ва
(1.18)
(1.10) шартдан , хисобга олган холда

(1.18) ни хисобга олсак, қуйдагиги эга бўламиз

Шундай қилиб, бизда да (1.19)
да
(1.20)
Юқоридагидек, ва функция тарифидан, (1.19) ва (1.20) дан қуйдагини оламиз


Шундан сўнг, (1.17) дан фойдаланиб
(1.21)
ва
(1.22)
га эга бўламиз ва холатларида юқоридаги каби давом эттирсак,
(1.23)
биз қуйдаги тенгликларни оламиз
(1.24)

ва
(1.25)

(1.24) тенглик хатолик функционали даражаси кўпи билан га тенг кўпхадларга ортогонал эканлигини билдиради, яни олинган квадратур формула даражали кўпхадларга аниқ бўлади.
(1.25) ни этиборга олиб, биз теореманинг тасдиқини оламиз. 1.1-теорема исботланди.
Энди биз хатолик функционали нормасини хисоблашимиз мумкин. Хатолик функционали нормасининг квадрати қуйдаги формулани қаноатлантиради



(1.26)



Хақиқатдан хам, фазо Гилберт фазоси бўлганлиги учун, чизиқли узлуксиз функционалнинг умумий шакли хақидаги Рисс теоремаси ва экстримал функциянинг тарифини хисобга олган холда, биз

Демак, 1.1-теоремадан


(1.27)

аввал свёрткани хисоблаймиз


(1.28)



кейин (1.28) ни (1.27) га алмаштириб, қуйдагини оламиз





Қавсларни очиб соддалаштирамиз








Шундай қилиб, биз 1-масалани хал қилдик.
1.2.-масалада, коеффициентларига нисбатан функционал хатолик нормасини минималлаштириш жуда қийин - бу чизиқли муаммо ва шунинг учун - тугун нуқталарни ўзгартирмасдан коеффициентларига нисбатан минималлаштирамиз. (1.2) хатолик функсионали (1.24) шартларни қондиради. хатолик функсионали нормаси коеффициентларининг кўп ўлчовли функсияси бўлиб, (1.24) шартлар бўйича хатолик функсионали нормаси квадратининг шартли минимал нуқтасини топамиз. Бунинг учун биз Лагранг функсиясини тузамиз.

бунда ,\; . функсиянинг ва га нисбатан ҳосилаларини нолга тенглаштириб, қуйидаги чизиқли тенгламалар тизимни оламиз.
(1.29)
(1.30)
бунда - (11) формула билан аниқланади, - даражали кўпхад

(1.31)