квадратур формуланинг коефитциентлари,, фазонинг елементи

1.3. ФУРЬЕ ИНТЕГРАЛЛАРИНИ ТАқРИБИЙ ҲИСОБЛАШ УЧУН ОПТИМАЛ КВАДРАТУР ФОРМУЛАЛАР.
Ушбу ишда биз ҳосилалар билан вазнли оптимал квадратур формулалар қуриш масаласини қараймиз. Бунда чизикли узлуксиз функционалнинг умумий кўриниши тўғрисидаги Рисс теоремаси ёрдамида квадратур формулаларнинг хатолик функционалининг экстремал функциясини топиш оддий дифференциал тенгламалар учун чегаравий масалани ечишга келтирилади. Ушбу чегаравий масалани ечиш орқали квадратур формуланинг хатолик функционалининг экстремал функцияси топилади, экстремал функция ёрдамида хатолик функционали нормасининг квадрати ҳисобланади ва чизиқли алгебраик тенгламалар системаси олинади. Бундан ташқари, ушбу системанинг ечими топилади, яъни ҳосилали вазнли оптимал квадратур формула коеффициентларининг аналитик кўриниши топилади.

(1.64)

интегралларни тақрибий ҳисоблаш учун кўпгина таниқли классик интеграллаш қоидаларини қўллаш мумкин, масалан, тўртбурчаклар, трапециялар, параболалар формулалари ҳамда Котес, Гаусс ва ҳоказо усулларга асосланган формулалар. Ушбу формулалар бутун интеграция сегментида ёки унинг қисмларида интеграл функцияни паст даражадаги алгебраик кўпҳад билан алмаштириш йўли билан олинади. Шунинг учун, агар интегралланадиган функция етарлича силлиқ бўлса ва тез ўзгармаса, улар яхши аниқлик беради. (1.64) интегралларда интегралланувчи функция кўпайтма бўлади. Бу ерда, агар параметр етарлича катта сон бўлса, унда , ва функциялари тез тебранади ва қийматини қабул қилинадиган хатолик билан олиш учун, ҳатто аста-секин ўзгарувчан функция билан ҳам тегишли тақрибий формулада даражали кўпҳадларни олиш керак. Бу кўп вақт талаб қиладиган ҳисоб-китобларга олиб келади.
Шундай қилиб, юқоридаги тақрибий формулалар нинг кичик қийматларида ни ҳисоблаш учун амалда ишлатилиши мумкин, ўзгаришнинг кенг доираси билан фойдаланишга яроқли квадратур формулаларни қуриш учун олдиндан кўпайтма мавжудлигини ҳисобга олиш керак. Буни, масалан, вазн функциялари каби кўпайтувчиларни олиш орқали амалга ошириш мумкин.
турдаги интегрални ҳисоблашга бағишланган биринчи ишлардан бири Файлоннинг [15] ишидир, унда Симпсон услубига ўхшаш усул таклиф қилинган. Бироқ, Симпсон усулида бутун интеграл парабола билан алмаштирилса, Файлон усулида фақат функцияси парабола билан алмаштирилади. Шундай қилиб, Файлон га боғлиқ коэффициентлар билан квадратур формулани олди.
Шуни таъкидлаш лозимки, интегралларни ҳисоблаш усулларининг ҳозирги ривожланиш даражаси [19, 24] да ўз аксини топган.
Биз қуйидаги кўринишдаги ҳосилали квадратур формулани қараймиз
(1.65)
қаралаётган (1.65) квадратур формуланинг хатолик функционали қуйидагича
(1.66)

бу ерда

ва (1.65) квадратур формуланинг коеффициентлари, -натурал сон, , ихтиёрий сон, яъни ҳақиқий сонлар тўплами, [0,1] кесманинг характеристик функцияси, Диракнинг дельта-функцияси, функциялар фазога тегишли бўлиб, бу ерда
абсолют узлуксиз ва
-тартибли ҳосиласи квадрати билан интегралланадиган Соболев фазосидир. Бу фазода ва иккита функцияларнинг скалар кўпайтмаси
(1.67)
тенглик билан аниқланади, бунда функция - функцияга қўшма функция, функция нормаси эса мос равишда

формула билан аниқланади. Эътибор беринг, коэффициентлари , ва га боғлиқ.
Интеграл ва квадратур йиғинди
(1.68)
орасидаги фарқ (1.65) квадратур формуланинг хатолиги дейилади. (1.65) формуланинг хатолиги фазодаги чизиқли функционалдир, бу ерда - фазога кўшма фазодир.
У ҳолда (1.65) квадратур формуланинг (1.68) хатолигининг абсолют қиймати учун Коши-Шварц тенгсизлигига кўра, биз қуйидаги

баҳога эгамиз. Бу шуни англатадики, (1.65) квадратур формуланинг (1.68) хатолигининг абсолют қиймати (1.66) хатолик функционалининг нормаси

ёрдамида юқоридан баҳоланади.
Бу ишнинг асосий мақсади ва учун фазода (1.65) кўринишдаги квадратур формулалар учун Сард масаласини ечишдан иборат, яъни қуйидаги
(1.69)
тенгликни қаноатлантирувчи коеффициентларни топишдир. Шунинг учун фазода Сард маъносида (1.65) кўринишнинг оптимал квадратур формуласини қуриш учун қуйидаги масалаларни ечишимиз керак.