квадратур формуланинг коефитциентлари,, фазонинг елементи

Теорема 1.2. Чегаравий масала (1.42) - (1.44) ечими (1.32) квадратур формуланинг (1.33) хатолик функционали экстремал функцияси бўлиб, қуйидаги кўринишга эга.

Бу ерда
(1.45)
дифференциал операторнинг фундаментал ечими. ҳосила тартиби
,
даражали кўпҳад бўлиб, - Диракнинг дельта функциясидир.
Исбот. Маълумки, бир жинсли бўлмаган дифференциал тенгламанинг умумий ечими бир жинсли бўлмаган дифференциал тенгламанинг хусусий ечими ва унга мос келадиган бир жинсли дифференциал тенгламанинг умумий ечимидир.
Юқорида таъкидлаб ўтилганидек, скаляр кўпайтма (1.34) бўйича Гильберт фазоси бўлади. Шунинг учун, Гильберт фазосида чизиқли функционалнинг умумий кўринишидан фойдаланиб, хатолик функционални (1.40) кўринишда ифодалаймиз, бу ерда Рисс элементи деб аталади. Бундан ташқари, Рисс теоремаси бўйича (1.38) тенглик ўринли. (1.34) ва (1.40) га биноан биз ҳар қандай фунция учун амал қиладиган қуйидаги тенгликни оламиз
(1.46 )
(1.46) нинг чап томонидаги қисмларга интеграллашдан кейин биз умумлаштирилган функциялардаги чегаравий масалага эришамиз.
(1.47 )
(1.48 )
Чегаравий масалалар назариясидан маълумки, бу масала -даражали кўпҳад бўлган -сонгача ягона ечимга эга.
(1.47) тенгламанинг умумий ечими қуйидагича ёзилади
(1.49)
Бу ерда - -даражали кўпҳад.
Ҳақиқатан ҳам, функцияни текшириш осон (1.47) тенгламанинг ечими ва бир жинсли тенгламанинг умумий ечими

-фазодан -даражали кўпҳадлар, шунинг учун (1.47) тенгламанинг - фазодаги умумий ечими (1.49) кўринишга эга бўлади.
ечим (1.48) иккала шартни қаноатлантириши учун , ва ни қаноатлантириши керак.
Ҳақиқатан ҳам,
da
ва шундай қилиб

1.2. теорема тўлиқ исботланди.
Энди биз хатолик функционали нормасини ҳисоблаймиз. Қуйидаги теорема ўринли.
Теорема 1.3. Хатолик функционалнинг нормасининг квадрати қуйидаги кўринишда

. ( 1.50 )
Бу ерда Грин функцияси (14) формула билан аниқланади.