квадратур формуланинг коефитциентлари,, фазонинг елементи

Теорема 1.4. кичик фазода ётган ҳар қандай нолга тенг бўлмаган -вектори учун функция қатъий мусбат бўлади.
Исбот. функция ва (1.56), (1.58) тенгликларнинг таърифидан шундай хулоса келиб чиқади

Дельта функцияларининг чизиқли бирикмасини кўриб чиқамиз
(1.60)
(1.59) шартга кўра бу функционал фазосига тегишли. Демак, у экстремал функцияга эга, бу тенгламанинг ечими қуйидагича ҳисобланади
(1.61)
сифатида биз асосий ечим силжишларининг чизиқли бирикмасини олишимиз мумкин:

Демак, нолга тенг бўлмаган учун функцияси қатъий мусбат эканлиги аниқ. 2-теорема исботланган.
Агар тугунлари матрицаси тўғри тескари матрицага эга бўладиган қилиб танланса, (1.54), (1.55) системанинг ягона ечими бўлади.
Теорема 1.5. Агар матрицаси тўғри тескари матрицага эга бўлса, (1.54),(1.55) системанинг матрицаси носингулардир.
Исбот. Квадрат шаклдаги матрицани билан белгилаймиз (1.54). Агар бир жинсли чизиқли тенгламалар системаси фақат арзимас ечимга эга бўлса, унда мос келадиган бир жинсли система ягона ечимга эга бўлади. Винер-Ҳопф типидаги sistema (1.54), (1.55) мос келадиган бир ҳил системани қуйидаги матрица шаклида кўриб чиқинг:
(1.62)
Keling, (1.62) ning yagona yechimi bir xil nolga teng ekanligini tekshiramiz.
(1.62) нинг ечими бўлсин. Тенглик (1.60) билан аниқланган функциясини кўриб чиқинг. функцияси учун экстремал функция сифатида биз қуйидаги функцияни оламиз:

Бу мумкин, чунки фазосига тегишли ва (1.61) тенгламанинг ечимидир. Тизимнинг биринчи тенгламалари (1.62) да нол қийматларни қабул қилишини билдиради. Кейин -даги функционал нормасига нисбатан бизда мавжуд

Бу фақат билан мумкин. Буни ҳисобга олиб, (1.62) системанинг биринчи тенгламаларидан оламиз
(1.63)
Фаразга кўра, матрицаси ўнгга тескарисига эга, аммо кейин чапга тескарисига эга. Бу ердан ва (1.63) дан ечим ҳам нолга тенг деган хулосага келамиз. 4-теорема исботланди.
Ушбу мақолада факторлаштирилган фазода квадрат формулалар хатоси функционалининг экстремал функцияси топилган. Бундан ташқари, қўшни бўшлиғида хато функционал норманинг квадрати ҳисоблаб чиқилади, бу нормани квадратура формулалари коэффитсиэнтлари билан минималлаштиради, ни топиш учун Wиэнер-Ҳопф типидаги тизим олинади, ечимнинг мавжудлиги ва ўзига хослиги аниқланади. Натижада Винер-Ҳопф типидаги тизим исботланган.