квадратур формуланинг коефитциентлари,, фазонинг елементи

1.5 - масала фазода (1.65) квадратур формуланинг хатолик функционали нормасини топиш.
1.6 - масала (1.69) тенгликни қаноатлантирувчи коэффициентларни топиш.
(1.69) тенгликни қаноатлантирувчи коэффициентлар (1.65) квадратур формуланинг оптимал коэффициентлари дейилади.
(1.65) квадратур формуланинг хатолик функционали нормасини топиш учун биз ушбу функционалнинг экстремал функциясидан фойдаланамиз.
Бунинг учун қуйидаги теорема ўринли.
Теорема 1.6. - хатолик функционалининг экстремал функцияси қуйидаги кўринишга ега:
(1.70)
бу ерда

функция - функцияга қўшма функция, - дифференциал операторнинг фундаментал ечими, - даражали кўпҳад.
Исбот. Маълумки, фазо скаляр кўпайтмаси (1.67) кўринишда бўлган Гилберт фазосидир. Шунинг учун, Гилберт фазосида чизиқли функционалнинг умумий кўринишидан фойдаланиб, биз хатолик функционалини
(1.71)
кўринишда ифодалаймиз, бу ерда Рисс элементи деб аталади.[50] Бундан ташқари, Рисс теоремасига кўра, қуйидаги
(1.72)
тенглик ўринли.
фазодаги экстремал функция Гилберт фазоларида [24] чизиқли функционалннг умумий кўриниши бўйича Рисс теоремаси ёрдамида берилган (1.72) функционал билан ифодаланади.
(1.67) ва (1.71) га биноан биз ҳар қандай функция учун амал қиладиган қуйидаги тенгликни оламиз
(1.73)
(1.73) нинг чап томонидаги қисмларга марта интеграллагандан сўнг

га эга бўламиз. ва нинг чегара қийматлари ихтиёрий эканлигини ҳисобга олсак, биз
(1.74)
(1.75)
умумлашган функцияларда чегаравий масалаларни оламиз.
Чегаравий масалалар назариясидан маълумки, [48] бу масала - даражали кўпҳад бўлган ҳадгача ягона бўлган ечимга эга.
(1.74) тенгламанинг барча ечимлари
(1.76)
кўринишида ёзилади, бу ерда - даражадали кўпҳад.

Дархакикат, функция (1.74) тенгламанинг ечими эканлигини ва фазодаги бир жинсли тенгламанинг бутун ечими даражали кўпҳад эканлигини текшириш осон, шунинг учун фазодаги (1.74) тенгламанинг умумий ечими (1.76) кўринишга эга.

ечим (1.75) шартни қаноатлантириши учун тенглик бажарилиши кераклигини кўриш осон.
Дарҳақиқат,

Шунинг учун, (1.75) га кўра, бизда да бор.
Шундай қилиб,

Теорема 1.6 тўлиқ исботланди.
Энди фазодаги хатолик функционал нормасини ҳисоблашимиз мумкин. Хатолик функционали нормасининг квадрати учун қуйидаги ўринли






(1.77)
Аслида, фазоси Гилберт фазоси бўлгани учун, чизиқли функционалнинг умумий кўриниши ҳақидаги Рисс теоремаси бўйича ва экстремал функциянинг таърифини ҳисобга олган ҳолда, бизда

мавжуд.
Демак, 1-теоремани ҳисобга олсак, бизда қуйидагилар мавжуд:















Бу ерда биз Диракнинг дельта функциясининг хоссаларидан фойдаланамиз. Қавсларни очиб, соддалаштириб, (1.77) га эга бўламиз.
Шундай қилиб, фазода биз 1-масалани ҳал қилдик.
(1.77) формуладан хатолик функционали нормасининг квадрати коеффициентларнинг кўп ўлчовли функцияси эканлигини кўриш мумкин. шарт бўйича (1.66) хатолик функционали нормаси квадратининг локал минимум нуқтасини топиш учун, биз ноаниқ кўпайтмаларнинг Лагранж усулидан фойдаланамиз. Бунинг учун ёрдамчи функцияни кўриб чиқамиз:
.
ва га нисбатан функциянинг қисман ҳосилаларини нолга тенглаштириб, қуйидаги чизиқли системани оламиз
(1.78)
(1.79)
бу ерда

(1.80)
(1.81)
Ушбу ишнинг асосий натижаси теоремадир.