Лекция №1 нелинейные системы автоматического управления

Рис.6.1.

На основании уравнений (6.8) и (6.9) можно написать гармонически линеаризованное характеристическое уравнение замкнутой нелинейной системы в виде

. (6.10)
Запишем выражение для обратной амплитудно-фазовой характеристики
. (6.11)
Амплитудно-фазовая характеристика линейной части системы имеет вид
. (6.12)
Общая приближенная амплитудно-фазовая характеристика всей разомкнутой цепи с нелинейным звеном будет
. (6.13)
Следовательно, амплитуда и фаза первой гармоники выходной величины х₃, определяемые формулами
и , (6.14)
зависят здесь не только от частоты ω, как в линейных системах, но еще и от величины входной амплитуды а.
Незатухающие синусоидальные колебания с постоянной амплитудой в замкнутой системе определяются согласно частотному критерию устойчивости прохождением амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы через точку (-1, j0), т.е. равенством W = -1. Это и будет в данном случае условием существования периодического решения для замкнутой нелинейной системы, которое принимается приближенно синусоидальным. Итак, имеем условие
W(a, ω) = -1.
Учитывая (6.13) и (6.14), это можно записать в виде
W_л(jω) = –M_Н(a) (6.15)
или
, (6.16)
где q'(а) = 0 в случае отсутствия гистерезисной петли (правая часть (6.16) в этом случае будет вещественной).
Левая часть уравнения (6.16) или (6.15) представляет собой амплитудно-фазовую характеристику линейной части системы, а правая – обратную амплитудно-фазовую характеристику нелинейного звена (для первой гармоники), взятую с обратным знаком. Решение этого уравнения можно получить графически как точку пересечения указанных двух характеристик (рис.6.2, а и б). В точке пересечения из кривой W_л(jω) берем значение частоты ω_п, а из кривой – М_H(а) берем величину амплитуды а_п искомого периодического решения. Рис.6.2,а соответствует системе с нелинейным звеном, имеющим гистерезисную петлю, когда