Лекция №1 нелинейные системы автоматического управления

Теорема Ляпунова о неустойчивости нелинейных систем. Поскольку предыдущая теорема Ляпунова дает, вообще говоря, только достаточные условия устойчивости и поскольку кроме области устойчивости нелинейная система может иметь целый ряд особых областей (см. Лек.1), то может возникнуть потребность в отдельном определении области неустойчивости путем использования нижеследующей теоремы Ляпунова, которая дает достаточные условия неустойчивости системы.
Теорема формулируется так: если при заданных в форме (4.1) уравнениях системы n-го порядка производная W(x₁, x₂, ..., х_n) от какой-нибудь функции Ляпунова V(x₁, x₂, ..., х_n) окажется, знакоопределенной, причем сама функция V в какой-нибудь области, примыкающей к началу координат, будет иметь знак, одинаковый со знаком производной W, то данная система неустойчива.
Справедливость этой теоремы иллюстрируется геометрически следующим образом. Пусть для какой-нибудь заданной системы второго порядка (n = 2) найдена такая знакопеременная функция V(x₁, x₂), для которой производная

оказалась знакоопределенной положительной. Пусть при этом линии V(х₁, х₂) на фазовой плоскости располагаются, как указано на рис.3.3, где линии АВ и CD соответствуют значениям V = 0 и разделяют те области, внутри которых V > 0 и V < 0.

Рис.3.3.

Возьмем изображающую точку М, как показано на рис.4.3. Поскольку там V < 0 и везде

,
то изображающая точка М с течением времени будет двигаться и пересекать линии V = С, переходя от меньших значений С к большим. Она может при этом лишь временно приблизиться к началу координат, но в конце концов будет неограниченно удаляться от начала координат. Это соответствует расходящемуся процессу, т. е. неустойчивости системы. Аналогично можно показать справедливость теоремы и для системы любого порядка n, проводя те же рассуждения для n-мерного фазового пространства.