Лекция №1 нелинейные системы автоматического управления

Рис.3.1.

Наконец, функция V=x₁+x₂ будет знакопеременной, так как она положительна для всех точек плоскости справа от прямой x₁ = -х₂ (рис.3.1,б) и отрицательна слева от этой прямой.

Заметим, что в некоторых частных задачах нам понадобится также функция V, которая обращается в нуль не в начале координат, а на заданном конечном отрезке АВ (рис.3.1,в). Тогда знакоопределенность функции V будет обозначать ее неизменный знак и необращение в нуль в некоторой области вокруг этого отрезка.
Функция Ляпунова и ее производная по времени. Любую функцию
V = V(x₁, x₂, ..., х_n), (4.3)
тождественно обращающуюся в нуль при x₁ = х₂ = ... = х_n = 0, будем называть функцией Ляпунова, если в ней в качестве величин x₁, x₂, ..., х_n взяты те отклонения переменных системы регулирования в переходном процессе
x₁ = x₁(t), x₂ = х₂(t), ..., х_n = х_n(t),
в которых записываются уравнения (4.1) для этой системы. Производная от функции Ляпунова (4.3) по времени будет
.
Подставив сюда значения из заданных уравнении системы регулирования в общем случае (4.1), получим производную от функции Ляпунова по времени в виде
, (4.4)
где X₁, Х₂, …, X_n – правые части уравнений (4.1) системы автоматического регулирования, представляющие собой заданные функции от отклонений x₁, x₂, ..., x_n.
Следовательно, производная от функции Ляпунова по времени, так же как и сама V, является некоторой функцией отклонений, т. е.
, (4.5)
причем согласно свойству (4.2) эта функция W, так же как и сама V, тождественно обращается в нуль при x₁ = x₂ = ... = х_n = 0. Поэтому к ней в одинаковой степени можно применять все те же понятия знакоопределенности, знакопостоянства и знакопеременности в некоторой области вокруг начала координат, о которых говорилось выше по отношению к функции V.
Базируясь на этих предварительных сведениях, дадим общую формулировку теорем Ляпунова об устойчивости и неустойчивости нелинейных систем и покажем их справедливость. Теоремы эти годятся для исследования устойчивости систем регулирования не только при малых, но и при больших отклонениях, если для них справедливы исходные уравнения данной системы регулирования. Устойчивость системы при любых больших начальных отклонениях называется коротко устойчивостью в целом.