Лекция №1 нелинейные системы автоматического управления

Рис.6.2.

характеристика М_H(а) комплексна. При отсутствии гистерезисной петли, когда М_H(а) вещественна, получаем график рис.6.2,б.

Вместо (6.15) можно пользоваться также выражением
, (6.17)
т.е. искать решение как точку пересечения амплитудно-фазовой характеристики нелинейного звена с обратной амплитудно-фазовой характеристикой линейной части системы, взятой с обратным знаком (рис.6.2, в и г).
Устойчивость найденного периодического решения грубо оценивается следующим образом (этот метод не является строго обоснованным, но во многих случаях его применения достаточно). Дадим малое приращение амплитуде: а = а_п + ∆а. Тогда при положительном ∆а получим на кривой – М_H(а), например, точку а₁ (рис.6.3,а), а при отрицательном ∆а – точку а₂. Для устойчивости периодического решения требуется, очевидно, чтобы при положительном ∆а колебания затухали, а при отрицательном ∆а – расходились. Для этого согласно частотному критерию в случае устойчивой или нейтральной разомкнутой цепи требуется, чтобы суммарная амплитудно-фазовая характеристика W(а, ω) в первом случае не охватывала точку (-1,j0), а во втором – охватывала. Но общая характеристика W(а, ω) не чертится в рассмотренном способе. Поэтому высказанное положение надо перенести на свойства кривых W_л(jω) и –М_H(а).

Рис.6.3.

Отсюда получаем, что для устойчивости периодического решения (если линейная часть системы в разомкнутом состоянии устойчива или нейтральна) требуется, чтобы амплитудно-фазовая характеристика линейной части W_л(jω) не охватывала точку а₁, соответствующую положительному ∆а, и охватывала точку а₂, соответствующую отрицательному ∆а. По этому признаку графики рис.6.3,а и б (в точке В) дают устойчивое периодическое решение, которое соответствует автоколебаниям замкнутой системы с частотой ω_п2 и амплитудой а_п2.

На графике рис.6.3, в значения ω_п1 и а_п1 соответствуют неустойчивому, а значения ω_п2, а_п2 – устойчивому периодическому решению. Это в простейшем случае может означать устойчивость системы в малом (до амплитуды а_п1) и автоколебания с частотой ω_п2 и амплитудой а_п2, если начальная амплитуда колебаний в переходном процессе превышает значения а_п1.