Лекция №1 нелинейные системы автоматического управления

Рис.3.


Рис.4.


Метод гармонического баланса
Рассматриваемый приближенный метод является мощным средством исследования нелинейных автоматических систем в смысле простоты и довольно большой универсальности его аппарата в применении к самым разнообразным нелинейностям. Однако надо иметь в виду, что он решает задачу приближенно. Имеются определенные ограничения его применимости, о которых будет сказано ниже. Эти ограничения обычно хорошо соблюдаются в задачах теории автоматического регулирования. Практические расчеты и эксперимент показывают приемлемость этого метода для многих видов нелинейных систем.
Пусть дано какое-нибудь нелинейное выражение вида
у = F(х, рх) (6.1)
и задано
х = asinψ, ψ = ωt. (6.2)
Тогда
рх = aω cosψ. (6.3)
Разложив функцию в правой части выражения (6.1) в ряд Фурье, получим
(6.4)
Положим
, (6.5).
что означает отсутствие постоянной составляющей в данном разложении. Далее везде предполагается выполнение условия отсутствия постоянной составляющей (6.5).
Если принять во внимание, что из (6.2) и (6.3)
и
то формулу (6.4) при условии (6.5) можно будет записать в виде
, (6.6)
где q и q' – коэффициенты гармонической линеаризации, определяемые формулами:
(6.7)
Итак, нелинейное выражение (6.1) при х=asinωt заменяется выражением (6.6), которое с точностью до высших гармоник аналогично линейному. Эта операция и называется гармонической линеаризацией. Коэффициенты q(а, ω) и q'(а, ω) постоянны при постоянных значениях а и ω, т.е. в случае периодического процесса. В переходном колебательном процессе с изменением а и ω коэффициенты q и q' изменяются. Для разных амплитуд и частот периодических процессов коэффициенты выражения (6.6) будут различны по величине. Это очень важное для дальнейшего обстоятельство является существенным отличием гармонической линеаризации, по сравнению с обычным способом линеаризации, приводящим к чисто линейным выражениям. Указанное обстоятельство и позволит путем применения к выражению (6.6) линейных методов исследования проанализировать основные свойства нелинейных систем, которые не могут быть обнаружены при обычной линеаризации.
Основываясь на вышеизложенной гармонической линеаризации, составим гармонически линеаризованное уравнение всей замкнутой нелинейной автоматической системы. Пусть известно дифференциальное уравнение линейной части системы
, (6.8)
причем линейная часть может иметь структуру любой сложности (и любой порядок уравнения).
Уравнение нелинейного звена

в колебательном процессе после гармонической линеаризации запишем в виде
. (6.9)
В частности, для нелинейной характеристики х₂ = F(x₁) без гистеризисной петли будет
x₂ =q(a) x₁.
Уравнение нелинейного звена (6.9) записано, как видим, без учета высших гармоник, фигурировавших в предыдущем параграфе. Это сделано отнюдь не потому, что они малы. В отдельно взятом нелинейном звене при подаче на вход x₁ = a sin ωt в общем случае на выходе обязательно появятся высшие гармоники. Однако в замкнутой автоматической системе (рис.6.1,а) линейная часть имеет обычно амплитудную частотную характеристику одного из двух видов, показанных на рис.6.1.б. Поэтому высшие гармоники, имеющиеся у переменной х₂, гасятся в линейной части и переменная x₁ оказывается достаточно близкой к синусоиде: x₁ = a sin ωt.