Лекция №1 нелинейные системы автоматического управления

Случай 5. Этот случай (вещественные положительные корни) соот­ветствует также апериодическому процессу. Аналогично предыдущему полу­чаем кривые процесса и фазовые траектории, изображенные на рис.3.5.

Рис.3.5.


Случай 6. В этом случае (вещественные корни разных знаков) также имеет место апериодический процесс (рис.3.6,а), где α₁ и α₂ имеют разные знаки, но картина фазовых траекторий здесь иная. Так как а₂<0, то введем обозначение , причем для простоты построений рас­смотрим случай a₁=0, что соответствует согласно (2) уравнению систе­мы и согласно (4) – уравнению фазовых траекторий
. (6)
Интегрирование последних, аналогично случаю 1, дает , т.е. семейство гипербол, изображенное на рис.3.6,б.
Направления движения изображающей точки М по фазовым траекто­риям, показанные на рис.3.6,б, легко определяются в каждой четверти плоскости по знаку (6).
Аналогичная картина фазовых траекторий получится в данном случае и при .
Итак, расходящимся апериодическим процессам в системе отвечают разовые траектории типа рис.3.5,б или типа рис.3.6,б, причем

Рис.3.6.

изображающая точка, двигаясь по ним, в конечном итоге удаляется от начала координат.

Особые точки. В точках, которые соответствуют установившемуся состоянию, получаем согласно (3) неопределенное выражение
,
т.е. неопределенное направление касательных к интегральным кривым (фазовым траекториям). Такие точки называются особыми точками, причем существует следующая классификация для них:
а) особые точки типа точки 0 на рис.3.1,б называются центрами,
б) особые точки типа рис.3.2,б называются устойчивыми фокусами,
в) особые точки типа рис.3.3,б называются неустойчивыми фокусами,
г) особые точки типа рис.3.4,б называется устойчивыми узлами,
д) особые точки типа рис.3.5,б называются неустойчивыми узлами,
е) особые точки типа рис.3.6,б называются седлами (седло всегда
неустойчиво).