Лекция №1 нелинейные системы автоматического управления

Теорема Ляпунова об устойчивости нелинейных систем. Теорема формулируется следующим образом: если при заданных в форме (4.1) уравнениях системы n-го порядка можно подобрать такую знакоопределенную функцию Ляпунова V(x₁, х₂, …, х_n), чтобы ее производная по времени W(x₁, х₂, …, х_n) тоже была знакоопределенной (или знакопостоянной), но имела знак, противоположный знаку V, то данная система устойчива. При знакоопределенной функции W будет иметь место асимптотическая устойчивость.
Проиллюстрируем справедливость этой теоремы на наглядных геометрических образах. Для простоты возьмем систему третьего порядка (n=3). Уравнения (4.1) для нее в общем виде будут
(4.6)
Возьмем знакоопределенную положительную функцию Ляпунова в виде
, (4.7)
где а, b, с – произвольно заданные вещественные числа. Будем придавать величине V возрастающие постоянные значения: V=0, С₁, С₂, С₃, ..., что означает

Первое из этих выражений соответствует одной точке x₁ = х₂ = х₃ = 0 (началу координат фазового пространства), а остальные – поверхностям эллипсоидов в фазовом пространстве, причем каждый последующий эллипсоид содержит внутри себя целиком предыдущий (рис.3.2).



Рис.3.2

Возьмем теперь производную от функции Ляпунова по времени. Согласно (4.4) и (4.7)

,
где функции X₁, X₂, Х₃ берутся из заданных уравнений системы регулирования (4.6).
Если полученная таким путем функция W(х₁, х₂, х₃) окажется знакоопределенной отрицательной, т. е. если
(4.8)
во всех точках исследуемого фазового пространства, кроме одного только начала координат, где
(при х₁ = х₂ = х₃ =0),
то при любых начальных условиях изображающая точка М (рис.4.2) вследствие (4.8) будет двигаться в сторону уменьшения значения V, т.е. будет пересекать эллипсоиды, изображенные на рис.3.2, извне внутрь. В результате с течением времени изображающая точка М будет стремиться к началу координат О фазового пространства и уже никак не сможет выйти за пределы тех эллипсоидов, в которые она проникла.