Лекция Предмет «Методика преподавания математики и информатики»

Дедукция (выведение) – есть форма умозаключения, при которой от одного общего суждения идут к частному суждению. В широком смысле представляет собой форму мышления. Состоящую в том, что новое предложение (выраженная в нем мысль) выводится чисто логическим путем, т.е. по определенным правилам логического вывода (следования) из некоторых известных предложений. Заключения по индукции лишь правдоподобно, дедуктивные рассуждения всегда дают достоверные заключения.
Дедуктивным методом доказательства называется доказательство, основанное на системе определенных аксиом. И поэтому дедуктивный метод называется аксиоматическим методом. Дедукция является строгим, логически обоснованным методом доказательства в математике.
Существенным различием между индукцией и дедукцией является характер заключения. Заключение по индукции лишь правдоподобно, заключение же по дедукции достоверно.
Дедукция (логический вывод) носит формальный характер, состоящий в том, что в наших рассуждениях, доказательствах одни предложения выводятся из других в силу определенной связи между их формой, структурой, независимо от конкретного содержания этих предложений. Например, квадрат - ромб, ромб - параллелограмм, значит, квадрат - параллелограмм.
В настоящее время дедукцией, или дедуктивным методом доказательства, называется доказательство, основанное на системе определенных аксиом. И поэтому дедуктивный метод называется аксиоматическим методом. Дедукция является строгим, логически обоснованным методом доказательства в математике.
Как видим, дедукция и индукция тоже тесно связаны между собой.

4. 
    Анализ и синтез.
   

Методы научного познания (исследования) - анализ и синтез в математике играют особенно важную роль. В обучении математике они выступают в самых разнообразных формах: как методы решения задач, доказательства теорем, изучения свойств математических понятий и т.д.

Анализ – метод (способ) рассуждения или доказательства, при котором отправляются от неизвестного к известному, от искомого к данному. Это логический прием, состоящий в том, что изучаемый объект мысленно (или практически) расчленяется на составные элементы (признаки, свойства, отношения), каждый из которых исследуется в отдельности как часть расчлененного целого.
Синтез – метод (способ) рассуждения, при котором следуют от известного к неизвестному, от данного к искомому, т.е. синтез – путь (метод мышления) от частей к целому.
Пример. Бытовой. Ребенок разбирает игрушку (анализ) и собирает ее (синтез).
Анализ и синтез играют в математике особенно важную роль. В обучении математике они выступают как методы решения задач, доказательства теорем, изучения свойств математических понятий и т.д. анализ и синтез практически неотделимы друг от друга, они сопутствуют друг другу, дополняя друг друга, составляя единый аналитико-синтетический метод.
Решая любую математическую задачу, мы имеем данные и искомые величины.

Анализ и синтез применяются при решении задач. Ведущий вопрос при анализе: что надо знать, чтобы ответить на поставленный вопрос? Ведущий вопрос при синтезе: что мы можем узнать по данным условия?
Анализ и синтез практически неотделимы друг от друга, они сопутствуют друг другу, дополняя друг друга, составляя единый аналитико-синтетический метод. Анализ и синтез широко применяются в химии и других науках.
В процессе развития анализ стали понимать как прием мышления, при котором от следствия переходят к причине, породившей это следствие, а синтез - как прием мышления, при котором от причины переходят к следствию, порожденному этой причиной.
Легко заметить, что синтез более доступен для понимания учащихся, хотя он меньше развивает логическое мышление, чем анализ. Применяя синтез, учащиеся рассуждают вслепую, пассивно; трудно догадаться, с чего начать доказательство, в то время как рассуждая аналитическим путем, мы мыслим ясно и творчески, активно ищем путь доказательства того или иного предложения.
Синтез в чистом виде почти никогда не встречается, он всегда включает в себя элементы анализа. Синтез и анализ взаимно связаны и неотделимы друг от друга. Они представляют собой две стороны одного и того же процесса рассуждения.
Многочисленные психологические исследования показали, что анализ выступает в различных формах, например:
а) анализ типа "фильтр"; б) анализ через синтез.
В случае а) человек, решающий задачу, действует наугад, хаотично, без всякой видимой системы, пробует один способ за другим, отбрасывает, отсеивает и т. п. Это при решении головоломок и т. д. (например, из 6 спичек сложить 4 равносторонних треугольника). Исследования показали, что догадка опирается на анализ.
В случае б) в начале поиска выполняется синтез различных частей задачи, а затем проводится анализ того, что может дать такой синтез для решения задачи. Подобное применение анализа является распространенным и имеет специальное название - анализ через синтез.
Иногда, при решении задачи возможен повторный анализ, анализ с новой целью, с иной точки зрения и т. п.
Теперь рассмотрим конкретно применение анализа и синтеза при решении задач.
Ведущий вопрос при анализе: что надо знать, чтобы ответить на поставленный вопрос?
Ведущий вопрос при синтезе: что мы можем узнать по данным условия?
Поиск решения задачи при синтезе направляется вопросом: зная то-то и то-то, что можно найти?
Сущность аналитического метода утверждений состоит в том, что исходным пунктом для обоснования требуемого утверждения является само это утверждение, которое путем логически обоснованных шагов сводится к утверждению, известному как истинное. Сущность синтетического метода состоит в том, что отыскиваются такие истинные утверждения, которые можно было бы путем логически обоснованных шагов преобразовать в данное утверждение (требуемое утверждение). Сущность метода восходящего анализа: для того, чтобы А было верно, достаточно, чтобы было верно В. Преимущества восходящего анализа:
1. восходящий анализ обеспечивает сознательное и самостоятельное отыскание метода доказательства теоремы самими учащимися;
2. способствует развитию логического мышления;
3. обеспечивает осознанность, целенаправленность действий на каждом этапе доказательства;
4. дает возможность найти различные способы решения;
5. усвоение этого метода доступно для большинства учащихся, т.к.схема практического применения метода проста: что требуется доказать? Что для этого достаточно знать?
Восходящий анализ не удобен для изложения найденного доказательства, которое получается очень длинным, поэтому для отыскания доказательства пользуются восходящим анализом. А изложение ведут синтетическим методом.
Анализ – это путь к открытию, а синтез – это путь к обоснованию.

5. Метод доказательства от противного. Вообще доказать какое-либо утверждение - это значит показать, что это утверждение логически следует из системы истинных и связанных с ним утверждений.

Сущность доказательства методом от противного состоит в следующем.
Пусть требуется доказать теорему "А=>В". При доказательстве методом от противного допускают, что заключение теоремы (В) ложно, а, следовательно, его отрицание истинно. Присоединив предложение В к совокупности истинных посылок, используемых в процессе доказательства (среди которых находится и условие А), строят цепочку дедуктивных умозаключений до тех пор, пока не получится утверждение, противоречащее одной из посылок и, в частности, условию А. Как только такое противоречие устанавливают, процесс доказательства заканчивают и говорят, что полученное противоречие доказывает истинность теоремы "А=>В".

6.