Лекция Введение. Пространство элементарных событий. Случайные события и операции над ними. Элементы комбинаторики

Пример 1.Бросание кости один раз: С={выпадение числа}=Е₂+Е₄+Е₆, где
Е₂,Е₄,Е₆ –несовместимыи равновероятны.
Следовательно .
Очевидно, что .
.
Пример 2.Найти сумму очков при бросании двух костей и вероятности, с которыми она принимает следующие значения.

Сумма очков на 2-х костях	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Вероятность

{2}={1}+{1}
{3}={1;2}+{2;1}
{4}={1;3}+{3;1}+{2;2}
{5}={1;4}+{4;1}+{2;3}+{3;2}
………………………………..
{10}={5;5}+{4;6}+{6;4}
{11}={5;5}+{6;5}
{12}={6}+{6}

Геометрическое определение вероятности.
Иногда классическая формула подсчета вероятностей событий допускает распространение на случай , когда множество элементарных событий несчетно , например, представляет собой совокупность точек на плоскости внутри некоторой области Ω .Опыт состоит в том, что в пределы области Ω бросается точка Vслучайным образом. Тогда естественно считать, что вероятность попадания точки V в какую то область пропорциональна площади этой области:
Пример 3.Два лица А и В условились встретиться в определенном месте, договорились только о том , что каждый из них явится туда в любой момент времени между 13⁰⁰ и 13³⁰ , и ждет 15 минут, если партнер к этому времени еще не пришел или уже ушел, то встреча не состоится . Найти вероятность встречи.
Решение:Элементарное событие ω характеризуется двумя параметрами : х- момент прихода А и у- момент прихода В.Будем изображать это событие точкой с координатами (х,у) на плоскости хоу . Выберем за начало отчета 13 часов, а за единицу измерения – 1 час и построим на хоу пространство элементарных событий Ω . Это будет квадрат со стороной 0,5:
С обытие С={встреча}произойдет, если |х-у |≤0,25ч. (0,25ч.=15 мин.)
S_Ω=0,5²=0,25
S_с= S_Ω-2S_∆= S_Ω-2(1/2(0.25)²)=0.1875
P(c)=
1.4.Аксиомы теории вероятностей и их следствия.
Пусть производится некоторый опыт со случайным исходом . Рассмотрим множество Ωвсех возможных исходов опыта , любой элемент ω принадлежащий Ω, называется элементарным событием . Любое событие А являющееся подмножеством Ω , обозначается . Если A распадается на несколько непересекающихся подмножеств A=A₁+…+A_n , A_iA_j=Ø при i≠j, то события A=A₁,…,A_n называются «вариантами» A.
Пример 1. Опыт бросания игральной кости. Пространство элементарных
событий Ω= {1,2,3,4,5,6}. Любое из указанных очков –
элементарное событие .
СобытиеА={выпадение четного числа очков}=
={или 2, или 4, или 6};
Варианты события А:А₂={2}, A₄={4},A₆={6}, A= А₂ +A₄ +A₆
Пример 2. Опыт – выстрел по мишени , представляющей собой круг радиуса r с центром в начале координат. Элементарное событие ω –попадание в любую точку с координатами (х,у) ; пространство элементарных событий- вся плоскость хоу. Событие А={попадание в мишень}={х²+у²≤r²} есть подмножество пространства Ω, .
Вариант А : А₁={попадание в левую половину}={х²+у²≤r²; x≥0}, A₂={попадание в правую половину}={х²+у²≤r²; x<0}.

Среди событий , являющихся подмножествамиΩ , можно рассмотреть и само Ω (так как любое множество есть свое собственное подмножество). Ω называется достоверным событием. Ко всему пространствуΩ элементарных событий добавляют еще и пустое множество Ø , которое тоже рассматривается как событие и называется невозможным событием.

Заметим, что элементарные события в одном и том же опыте можно задавать по разному : например при бросании точки на плоскость , положение точки можно задавать и парой декартовых координат (х,у), и парой полярных координат(ρ,φ).
Дадим теоретико –множественное истолкование свойствам событий.
Несколько событий А_1,А_2,…,А_n образуют полную группу событий , если , то есть их сумма –достоверное событие.Два события А и В называются несовместными , если они не пересекаются , то есть АВ=Ø. События А_1,А_2,…,А_n попарно несовместны, если появление любого одного из них исключает появление любого из остальных: А_iА_j=Ø , i≠j.
Так как события представляют собой множества, то для них точно также определяются сложение и умножение.