M sohasi: im yo‘nalis oliy V t “o iqtis

 
1
7
1 10
9
4
2
11
7
13
1/19
A
















 
matrisani olamiz. Teskari matrisaning toʻgriligini tekshirish uchun quyidagi 
tenglikni tekshiramiz: 
1
1
A
AA
E
A




 
2
3
2
7
1
10
5
1
4
9
1 / 1
4
2
1
2
1
11
7
13
9




























 
14 27 22
2 12 14 20 6 26
35 9 44
5 4 28 50 2 52
7 18 11
1 8 7
10 4 13
19
0
0
1 0 0
0 19
0
0 1 0
0
0 19
0 0 1
1 / 19
1 / 19
E


 

 




 
  
 






  
 



 


 




 


 










 
Demak, 
1
A

 toʻgʻri topilgan. 
3.5. 
1
2
1
1
1
3
4
3
2
A




 









 matrisa uchun 
1
A

 matrisani Gauss-Jordan usulida toping. 
Yechish.
 
16 0
A
  
  teskari matrisa mavjud. Berilgan matrisani birlik matrisa 
hisobida kengaytirib, elementar almashtirishlar bajaramiz, bu usulni to chap 
tomonda 
A
 matrisa oʻrnida birlik matrisa hosil boʻlguncha davom ettiramiz, oʻng 
tomonda hosil boʻlgan matrisa berilgan matrisaga nisbatan teskari matrisa boʻladi. 
1
2
1 1 0 0
1
2
1 1
0 0
1
1
3 0 1 0
0
1
2 1
1 0
4
3
2 0 0 1
0
5
6 4 0 1

 


 






 


 



 

 


 
1 2
1 1 0 0
1 2
1
1
0
0
~ 0 1
2 1 1 0 ~ 0 1
2
1
1
0
~
0 0
16 1 5 1
0 0
1 1 / 16
5 / 16
1/ 16 

 


 




 


 






 

 

 
17 
1 0 5
1
2
0
1 0 0 11 / 16
7 / 16
5 / 16
~ 0 1 0 14 / 16 6 / 16
2 / 16 ~ 0 1 0 14 / 16
6 / 16
2 / 16
0 0 1 1 / 16
5 / 16
1 / 16
0 0 1 1 / 16
5 / 16
1 / 16



 




 




 


 








 

 
1
11
7
5
14
6
2
1
5
1
1 / 16
A

 













 teskari matrisa toʻgʻri topilganini (3) formulaga 
qoʻyib tekshiramiz: 
1
1
2
1
11
7
5
1
1
3
14
6
2
4
3
2
1
5
1
1 / 16
AA



 


 



  



 


 



 

 
 
11 28 1
7 12 5
5 4 1
11 14 3
7 6 15
5 2 3
44 42 2 28
1 / 16
18 10
20 6 2




  




 

  
 








  


 
= 
16
0
0
1 0 0
0
16
0
0 1 0
0
0
16
0 0
1
1
/ 16


 


 




 


 








 
demak, teskari matrisa toʻg‘ri topilgan. 
3.6. 
Berilgan kvadrat matrisalar uchun teskari matrisani ikki usulda toping: 
1 1
1 3
)
;
)
.
4
2
2 6
a
b













 
3.7. 
Berilgan kvadrat matrisalar uchun teskari matrisani qulay usulda toping: 
1 5 7
2
1 7
) 3 1 1 ;
) 5
3
2 ;
2 3 4
1
4
3
a
b





















 
3.8. 
Berilgan kvadrat matrisalarning rangini toping. Xosmas matrisaning 
teskarisini toping: 
1 0 8
2 1 2
1
0
5
) 5
9 0 ;
) 1 1 1 ;
) 4
2
1
0
4 3
2 3 2
2
1
3
a
b
c

































 
2 3 4 0
1 2 1 0
1 5 7 0
1 1 3 1
)
;
)
3 1 1 0
1 2 1 1
0 0 0 1
1 1 3 0
d
e
























 
 

 
18 
3.9. 
Quyidagi matrisalar rangini minorlar ajratish usuli bilan hisoblang: 
3 5 7
1 2 3 6
1 2 3
4
0 2 0 0
) 1 2 3 ;
) 2 3 1 6 ;
) 2 4 6
8 ;
) 1 0 0 4
1 3 5
3 1 2 6
3 6 9 12
0 0 3 0
a
b
c
d








































0
2
4
2
4
3
1
0
1
2
1
3
1
4
5
1
2
1
4 2
4
1
5
6
)
;
)
;
)
3
1
7
0
1
1
3
1
1
3
4
7
0
5
10
4
7
4
4 5
2
1
1
0
2
3
0
e
j
k

























































 
 Misollarda 
matrisalar 
rangini elementar almashtirish usuli bilan hisoblang: 
3.10. 
1 2 1 3 4
3 4 2 6 8 ;
1 2 1 8 4










   3.11. 
1
7
5
8
9
2
3 21 15 24 27 6 ;
2 14 10 16 18 4










 
3.12. 
1 2 3
4
2 4 6 8 ;
3 6 9 12










 
   3.13. 
1 0 2 0 0
0 1 0 2 0 ;
2 0 4 0 0










 
3.14. 
4 3
5 2
3
8 6
7 4
2
;
4 3
8 2
7
4 3
1
2
5
8 6
1 4
6






















 
  3.15. 
24 19 36
72
38
49 40 73 147
80
;
73 59 98 219
118
47 36 71 141
72















  
3.16. 
17
28 45
11
39
24
37 61
13
50
;
25
7
32
18
11
31
12
19
43
55
42
13
29
55
68

























  
3.17. 
47
67
35
201 155
26
98
23
294
6 ;
16
428
1
1284
52












  
3.18. 
4
5
2 1
3
0
2
1 1
2
;
4
7
3 3
1
8 12 5 3
4














  
  3.19. 
1
3
5
1
2
1
3
4
;
5
1
1 7
7
7
9
1















  

 
19 
3.20. 
3
1
3
2
5
5
3
2
3
4
.
1
3
5 0
7
7
5
1
4
1


















 
3.21. 
Berilgan kvadrat matrisalar uchun teskari matrisani ikki usulda toping: 
2 1 1
1
)
;
) 1 0 2 ;
2
3 1 2
tg
a
b
ctg


















 
1
1
1
2
5
7
3
4
5
)
38
41
34 ;
) 6
3
4 ;
) 2
3
1 .
27
29
24
5
2
3
3
5
1
c
d
e








































 
3.22. 
Berilgan kvadrat matrisalar uchun teskari matrisani qulay usulda toping: 
1
0
2
3 2 2
) 3
1
0 ;
) 1 3 1 ;
1 1 1
1
0 1 1
1
)
;
0 0 1
1
0
0
0
1
1 2
4
5 3 4
a
b
c













   






























 
2
3
2
1
2
1 0 0
0
0 0
1
1 0
0
0 0
0 1
0
1
0
0 0
)
;
)
.
0 0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
n
n
n
a a
a
a
a
a
a
a
a
d
e
a
a
a
a































     




      










 
 
 
4-amaliy mashg‘ulot. Vektorlar sistemasi va uning rangi 
 
4.1.
 Quyidagi vektorlar sistemasining bazislaridan birini quring va rangini 
aniqlang: 
a
1
(1;2;-1;3),      
a
2
(0;3;4;1),     
 a
3
(-2;-1;6;-5),       
a
4
(5;1;2;-4)
 
Yechish.
 
a
1
x
1
  +
a
2
x
2
+
a
3
x
3
+
a
4
x
4
=  vektor tenglama umumiy yechimini Gauss-
Jordan usulida quramiz: 

 
20 
1
0
2
5 0
1 0
2
5 0
2
3
1
1 0
0 3
3
9 0
~
~
1 4
6
2 0
0 4
4
7 0
3
1
5
4 0
0 1
1
19 0
1 0
2
5 0
1 0
2 0 0
0 0
0
1 0
0 0
0
1 0
~
~
0 0
0
1 0
0 0
0
0 0
0 1
1
19 0
0 1
1
0 0



































































 
Yechilgan sistemadan x
1
, x
2
, x
4 
- yechilgan noma’lumlar, x
3
 esa erkin noma’lum 
ekanligi ko‘rinib turibdi. Demak, berilgan vektorlar sistemasining bazisi a
1,
 a
2
 va 
a
4 
vektorlar sistemasi bo‘lib, sistemaning rangi bazisidagi vektorlar soni 3 ga teng. 
 
Agar berilgan ikkita n o‘lchovli a
1 
va a
2
 
vektorlarning skalyar ko‘paytmasi 
nolga teng bo‘lsa, a
1 
va a
2 
vektorlar o‘zaro ortogonal vektorlar deyiladi. 
n o‘lchovli nolmas vektorlardan tarkib topgan vektorlar sistemasi berilgan bo‘lib, 
sistema vektorlarining har qanday ikki jufti o‘zaro ortogonal bo‘lsa, u holda 
sistemaga ortogonal vektorlar sistemasi deyiladi. 
4.2. 
Quyidagi vektorlar sistemasi ortogonalmi? 
a
1
(0;5;-2),      a
2
(29;-2;-5),      a
3
(2;4;10) 
Yechish. 
(a
1* 
a
2
)=0-10+10=0 
(a
1* 
a
3
)=0+20-20=0 
(a
2* 
a
3
)=58-8-50=0 
Berilgan vektorlar sistemasi ortogonal vektolar sistemasi ekan. 
 Teng 
o‘lchovli 
n
 ta a
1
,  a
2
, … a
k
 chiziqli erkli vektorlar sistemasi ustida 
ortogonal vektorlar sistemasini qurish, ya’ni mos ravishda b
1
, b
2
, … b
k
 ortogonal 
sistema bilan almashtirish mumkin. Buning uchun Shmidt formulalaridan 
foydalanamiz: 
b
1
=a
1 











1
1
t
b
t
i
i
i
i
t
i
t
b
b
b
a
b
a
            tє{2;3;…k} 
4.3. a
1
(1;1;1), a
2
(0;1;1), a
3
(0;0;1)  vektorlar sistemasi ustida ortogonal sistema 
quring. rang (a
1
,a
2
,a
3
)=3 chiziqli erkli sistema ekan.  
b
1
=a
1
(1;1;1) 





  













3
1
;
3
1
;
3
2
1
;
1
;
1
3
2
1
;
1
;
0
1
1
1
2
1
2
2
b
b
b
a
b
a
b
 

 
21 








1
3
2
3
3
3
1
2
1
1
2
2
1
1
2 1 1
1 1
3
(0;0;1)
(1;1;1)
; ;
0;
;
2
3
3 3 3
2 2
3
b a
b a
b
a
b
b
b b
b b









 







 


 

 
Berilgan vektorlar sistemasi ustida qurilgan ortogonal sistema vektorlarini butun 
koordinatali vektorlarga aylantirib, (1;1;1); (-2;1;1); ( 0;-1;1) natijani olamiz. 
 Nolmas 
b
 vektorning normallangan  yoki birlik vektori  deb, 
b
b
 vektorga 
aytiladi. 
 
Har bir vektori normallangan, ya’ni birlik vektor ko‘rinishiga keltirilgan 
ortoganal sistemaga ortonormallangan vektorlar sistemasi deyiladi. 
4.4.
 Yuqoridagi misolda topilgan ortonormal b
1
(1;1;1);        b
2
(-2;1;1);  b
3
(0;-1;1) 
sistemaning har bir vektorini birlik ko‘rinishga keltiramiz. 
 










3
1
;
3
1
;
3
1
1
;
1
;
1
1
1
1
1
2
2
2
1
1
b
b
 















6
1
;
6
1
;
6
2
1
;
1
;
2
1
1
)
2
(
1
2
2
2
2
2
b
b
 







 






2
1
;
2
1
;
0
1
;
1
;
0
1
)
1
(
0
1
2
2
2
3
3
b
b
 
n
-o‘lchovli birlik 
1; 0; 0; … ; 0 ,
0; 1; 0; … ; 0 , … ,
0; 0; 0; … ; 1   vektorlar 
kanonik bazisni tashkil qiladi. 
 
Quyida berilgan vektorlar sistemasining bazislaridan birini quring va 
ranglarini aniqlang:  
4.5. a
1
=(1;-2;-5),    a
2
=(3;4;-1),   a
3
=(2;-3;0) 
4.6. a
1
=(1;1;-2;-5),   a
2
=(3;4;-1;2), a
3
=(4;1;-2;3), a
4
=(5;2;-3;1) 
4.7. e
1
; e
2
; e
3 
bazisda a
1
=(1;1;0), a
2
=(1;-1;1), a
3
=(-3;5;6) vektorlar berilgan. a
1
; a
2
; 
a
3 
vektorlar bazisni tashkil qilishini ko‘rsating. 
4.8. e
1
; e
2
; e
3
 bazisda vektor b=(4;-4;5)
 
 berilgan. Shu vektorni quyidagi a
1
; a
2
; a
3
 
bazisda ifodalang: a
1
=(1;1;0), a
2
=(1;-1;1),      a
3
=(-3;5;-6) 
4.9. e
1
;  e
2
;  e
3 
bazisda berilgan a=(1;2;0),  b=(3;-1;1),  c=(0;1;1) vektorlar o‘zlari 
bazis tashkil qilishini ko‘rsating. 
4.10. e
1
; e
2
; e
3 
bazisda quyidagi a, b, c vektorlar berilgan: a=e
1
+e
2
+e
3
,
  b=2e
2
+3e
3
, 
c
=e
2
+5e
3
. a, b, c vektorlar bazis tashkil qilishini isbotlang. Vektor d=2e
1
-e
2
+e
3
 ni 
a
, b, c bazisdagi koordinatalarini toping. 

 
22 
 
Quyidagi vektorlar sistemasining bazislarini toping: 
4.11. a
1
=(1;2;0;0); a
2
=(1;2;3;4); a
3
=(3;6;0;0); 
4.12.
 a
1
=(1;2;3;4); a
2
=(2;3;4;5); a
3
=(3;4;5;6); a
4
=(4;5;6;7); 
 
Berilgan vektorlar sistemasining rangi va barcha bazislari topilsin: 
4.13. a
1
=(1;2;0;0); a
2
=(1;2;3;4); a
3
=(3;6;0;0);