M sohasi: im yo‘nalis oliy V t “o iqtis

9.13.
 Quyidagi vektorlarning vektor koʻpaytmasini toping: 
1) (4;3; 1)
(5; 1;4);
a
va b




 
2) (0;5;6)
(12;1;5);
a
va b


 
3) (7;2; 2)
(4; 1;6);
a
va b




 
4) (2;3;6)
(1;3;5);
a
va b


 
9.14.
 
2
5
7 ,
a
i
j
k
 





 
,
b i
j k
  
   
 
2
2
c i
j
k
 

 


 vektorlarning komplanarligini 
koʻrsating. 
Yechish.
 Uch vektorning aralash koʻpaytmasini topamiz:  


2 5
7
1
1
1
1
1 1
1 1
1 2
5
7
8 15 7 0,
2
2
1 2
1 2
1 2
2
a b c




  
  
 
 
 
 


  
 


0
a b c



 


  
 boʻlgani uchun 
,
a

 
,
b

  c

 lar komplanar. 
9.15.
 Quyidagi vektorlarni komplanarlikka tekshiring: 


1) (4;3; 1), (5; 1;4);
1;0;1 ;
a
b
va c





 
2) (4;3;7), (12;1;5)
(4; 1; 1)
a
b
va c
 



 
3) (7;2; 2), (4;1;5)
(4; 1;6);
a
b
va c





 
4) (2;3;6), (2;4;6)
(1;2;3);
a
b
va c



 
9.16.
 
2
3
6
r OM
i
j
k




 



 
vektorning uzunligini hamda yoʻnalishini aniqlang. 
2
2
2
cos
cos
cos
1






 formula boʻyicha tekshiring. 
9.17.
  Uchlari  (2; 1; 3);
(1; 1; 1)
(0; 0; 5)
A
B
va C

 nuqtalarda boʻlgan 
uchburchakning barcha burchaklari aniqlansin. 
9.18.
 Uchlari  (3; 2; 3);
( 1; 1; 1)
(5; 3; 5)
A
B
va C



 nuqtalarda boʻlgan 
uchburchakning barcha burchaklari aniqlansin. 
9.19.
 
2
a i
j
 
 

  va 
2
b
j
k
  



 vektorlarga qurilgan parallelogramm 
dioganallari orasidagi burchak topilsin. 

 
43 
9.20.
 
2
a
i
j
 

 
  va 
2
b
j k
 




 vektorlarga qurilgan parallelogram dioganallari 
orasidagi burchak topilsin. 
9.21.
 
2
a i
j
k
  
 va 
4
b i
j
k
  
 vektorlar berilgan. 
 
Pr
b
a


 va 
 
Pr
a
b


larni 
toping. 
9.22.
 
j
i
a

 2
  va 
2
b
j k
 
  vektorlar berilgan. 
 
Pr
b
a


 va 
 
Pr
a
b


larni 
toping. 
9.23.
 Agar  m va n


 vektorlar oʻzaro 30

 burchak tashkil etuvchi birlik vektorlar 
boʻlsa, u holda 


2
m n



 ni hisoblang. 
9.24.
 Agar 
4
,
2
2


b
a
hamda 
 
135
a b



 
 boʻlsa, u holda 


2
a b



 ni 
hisoblang. 
9.25.
 Teng yonli OABC  trapetsiyada  M  va  N  nuqtalar mos ravishda 
2,
2
BC
AB

  tomonlarning oʻrtalari. Trapetsiyaning oʻtkir burchagi 60  ga 
teng. OM va ON


 vektorlar orasidagi burchakni toping. 
9.26.
 (2; 2; 0)
(0; 2; 5)
A
va B

 nuqtalar berilgan. 
u
AB

  vektorning uzunligi va 
yoʻnalishi aniqlansin.  
9.27.
 Tetraedrning bir uchidan oʻtkazilgan ikki tekis burchagining bissektrisalari 
orasidagi burchak kosinusini aniqlang.  
9.28.
  OA a va OB b


 
 
 
vektorlar berilgan. 
4;
2
a
b




 va 
 
30
a b



 
  OAB  
uchburchakning OM  medianasi bilan OA  tomoni orasidagi burchakni aniqlang.  
9.29.
  OA a va OB b


 
 
 
vektorlar berilgan. 
2;
4
a
b




 va 
 
60
a b



 
  OAB  
Uchburchakning OM  medianasi bilan OA  tomoni orasidagi burchakni aniqlang.  
9.30.
 
Oʻzaro komplanar  ,
a b va c
 

 vektorlar berilgan boʻlib 
4 ,
2 ,
3
a
b
c


 va 
   
30 ,
30
a b
b c


 
 
 
 
 boʻlsa, u holda  
a)  u a b c
  


 
 vektor uchun 


2
u
a b c

 

  
 formula boʻyicha uning modulini 
hisoblang. 
b)  u a b c
  


 
 vektor uchun 
2
(
)
u
a b c

 


 
 formula boʻyicha uning modulini 
hisoblang. 

 
44 
9.31.
 
Oʻzaro komplanar  ,
a b va c
 

 vektorlar berilgan boʻlib 
5
,
2
,
3



c
b
a
va 
   
60 ,
60
a b
b c


 
 
 
 
 boʻlsa, u holda  
a)  u a b c
  


 
 vektor uchun 


2
u
a b c

 

  
 formula boʻyicha uning modulini 
hisoblang. 
b)  u a b c
  


 
 vektor uchun 
2
(
)
u
a b c

 


 
 formula boʻyicha uning modulini 
hisoblang. 
9.32.
 Quyida berilgan vektorlar yordamida 
a) Koshi-Bunyakovskiy tengsizligini tekshiring; 
b) Minkovskiy tengsizligini tekshiring. 
1.  (1; 2; 3; 4)
(3; 2; 4; 1)
a
va b


; 
2. (2; 3; 5; 1; 0)
(4; 3; 2; 1; 1)
a
va b


; 
3. (4; 0; 1; 3; 2)
(2; 3; 5; 4; 2)
a
va b


; 
4.  (1; 3; 7; 5; 4)
(4; 2; 0; 3; 5)
a
va b


 
 
Quyidagi vektorlar sistemalariga tortilgan chiziqli qism osti fazosining 
bazislaridan birini, oʻlchamini va ortonormallangan bazisini toping: 
9.33. 
1
(3; 1;2),
a


 
2
(1;4; 1),
a


 
3
(7;2;3)
a

 
9.34.  


2
0;3;4;1 ,
a

 


3
2; 1;6; 5 ,
a
 


 


4
5;4;2; 4
a


 
9.35. 


3; 2;4
x


 vektor 
1
2
3
, ,
e e e
  
  bazisda berilgan. Vektorning 
2
1
2
5
3
3 .
1 0
2
A















 
bazisdagi koordinatalarini toping. 
Yechish.
 Koeffisiyentlar matrisasi  P  ning transponirlangan matrisasi 
T
P
 ni hosil 
qilamiz:  
1
2
3
1
1
1
2
1
2
P





 





          
1
1 2
2 1
1
3 1 2
T
P













 
U holda  x

 vektorning dastlabki bazisdagi koordinatalari uning yangi bazisdagi 
koordinatalari orqali (matrisa shaklida 
'
T
x P x



) quyidagicha ifodalanadi:  
'
'
'
1
1
2
3
'
'
'
2
1
2
3
'
'
'
3
1
2
3
2
2
3
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x

 






    

 
1
(1; 2; 1;3),
a



 
45 
1 1 2 3
1
1
2 3
1 0
3
5
2 1
1 2
0
1
5 8
0 1
5
8
3 1 2 4
0
4
8 13
0 0
12 19

 
 

 

 
 

 

 

 
 


 
 





 
 



 
Demak, dastlab berilgan 


3; 2;4
x


 
vektorning yangi bazisdagi koordinatalari: 
1 1 19
;
;
4 12 12
x







 
9.36. 


2; 1
x


 vektor 
1
2
,
e e
 
 bazisda berilgan. Vektorning 
'
1
1
2
'
2
1
2
3
2
e
e
e
e
e
e
  


 


 


 
 bazisdagi 
koordinatalarini toping. 
9.37. 


3; 2
x


 vector 
1
2
,
e e
 
 bazisda berilgan. Vektorning 
'
1
1
2
'
2
1
2
2
e
e
e
e
e
e
 




 


 
  
 bazisdagi 
koordinatalarini toping.  
9.38. 


1;2; 2
x


  vektor  
1
2
3
, ,
e e e
  
  bazisda berilgan vektorning 
'
1
1
2
3
'
2
1
2
3
2
e
e
e
e
e
e
e
e

 



 



   

  
 
bazisdagi koordinatalarini toping. 
9.39. 
1
0
0
0
0
P
Cos
Sin
Sin
Cos















 
matrisa ortogonal matrisa boʻlishini tekshiring. 
Yechish. 
1
0
0
0
0
T
P
Cos
Sin
Sin
Cos








 






         
1 0 0
0 1 0
0 0 1
T
P P
E













 
Demak, berilgan  P  matrisa ortogonal matrisa boʻladi.  
 
Quyidagi matrisalardan ortogonallarini ajrating: 
9.40. 
1
0
0
2
0
0,5
4
1
3











 
  9.42. 
4 2
.
1 3






 
9.41. 
0
0
1
0
0
Sin
Cos
Cos
Sin















   9.43. 
1
1
0
2







 
 
Quyida berilgan ikki vektorlar sistemalaridan har biri bazis boʻla olishini 
isbotlang. Ushbu bazislarda berilgan aynan bir vektorning koordinatalari orasida 
munosabatlarni oʻrnating: 

 
46 
9.44. 
 
 
1
2
1;2
1;1
e
e





 va 
 
 
'
1
'
2
1;1
3;4
e
e





 
 
9.45. 
 
 
1
2
1;3
2;3
e
e





 va 
 


'
1
'
2
1;0
0; 3
e
e






  
9.46. 
 
 
1
2
2;3
2;4
e
e





 va 




'
1
'
2
0; 1
6;11
e
e







    
9.47. 






1
2
3
2;1; 1
3;1;2
1;0;4
e
e
e









 va 






'
1
'
2
'
3
1;1; 1
2;3; 2
3;4; 4
e
e
e












 
 
 
10-amaliy mashg‘ulot. Chiziqli operatorlar va ularning xossalari 
 
10.1.
 Agar 
3
R
 da chiziqli  A  operator 
1
2
3
, ,
e e e
  
 bazisda oʻzining 
3
2 4
1 5 6
1
8 2
A




 






 
matrisasi bilan berilgan boʻlsa, 
1
2
3
4
3
x
e
e
e





 
 vektorning 

 
y A x



 aksini 
toping. 
Yechish.
  Y
AX

 formulaga binoan, 
1
2
3
3
2 4
4
10
1 5 6
3
13
1
8 2
1
18
y
y
y
  
   

  
   

 
   
  
   


   

 


   

 
. Demak, 
1
2
3
10
13
18
y
e
e
e







 
10.2.
 
4
R
 fazoda 
1
2
3
4
, , ,
e e e e
   
 bazisda chiziqli operator matrisasi 
5 2 0
3
2
5 2
5
3
4 6
0
6 0 2
1
A
















 koʻrinishda berilgan boʻlsin. 
1
2
3
4
, , ,
e e e e
   
 
1
2
3
4
2
2
4
x
e
e
e
e







 
 vektorning 

 
A x

 aksini toping. 
10.3.
 
3
R
 fazoda 
1
2
3
, ,
e e e
  
    bazisda chiziqli operator matrisasi 
5
3
4
2
6
8
1
7 2
A





 







 
berilgan boʻlsin. 
1
2
3
4
3
x
e
e
e





 
 vektorning aksi 

 
y A x



 ni toping. 

 
47 
10.4.
 
3
R
 fazoda 
1
2
3
, ,
e e e
  
 bazisda chiziqli operator matrisasi 
5 3
6
1 3 6
1 4 2
A





 






 
berilgan boʻlsin. 
1
2
3
2
3
5
x
e
e
e
 






 vektorning aksi

 
y A x



 ni toping. 
10.5.
 
1
2
,
e e
 
  bazisda  A  operator 
17 6
6
8
A


 



 matrisaga ega. 
'
1
1
2
'
2
1
2
2
2
e
e
e
e
e
e
  





 


 
 
bazisda  A  operatorning matrisasini toping. 
Yechish.
  Oʻtish matrisasi 
1
2
2 1
C


 




 ning teskari matrisasi 
1
1
2
1
2
1
5
C




 



 
Demak,  
1
1
2
17 6
1
2
1
2
1
2
5
0
1
2
1
6
8
2 1
8
4
2 1
0 20
5
B C AC




 
 
 
 
 









 
 
 
 
 




 
 
 
 
 

 
10.6.
 
1
2
,
e e
 
 
bazisda chiziqli operatorning matrisasi 
2 3
5 4
A


 



 koʻrinishga ega. 
Yangi 
'
1
1
2
'
2
1
2
5
3
2
e
e
e
e
e
e
 



 




 

  bazisda chiziqli operatorning matrisasini toping.  
10.7.
 
1
2
3
, ,
e e e
  
 
bazisda chiziqli operatorning matrisasi 
0
1 2
4 3 0
2 1 2
A




 






 koʻrinishda. 
Yangi 
'
1
1
2
3
'
2
1
2
3
'
3
1
2
3
2
2
2
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
 




  

 






   
   
 bazisda  A  operatorning matrisasini toping. 
10.8.
 
1
2
,
e e
 
 
bazisda chiziqli operatorning matrisasi 
5 3
2 6
A


 



 koʻrinishga ega. 
Yangi 
'
1
1
2
'
2
1
2
2
3
3
e
e
e
e
e
e
 










 
  bazisda chiziqli operatorning matrisasini toping.