M sohasi: im yo‘nalis oliy V t “o iqtis

11.58. 
 
 ellipsning, markazi shu ellipsning “yuqori” uchida boʻlgan va 
uning fokuslaridan oʻtuvchi aylana bilan umumiy nuqtalari topilsin. 
11.59. 
 Giperbolaning ekssentrisiteti 
 ga teng va 
 nuqtadan oʻtadi. 
Giperbolani sodda teglamasini tuzing. 
11.60. 
 Giperbolani fokuslari 
 va 
 nuqtalarda joylashgan. 
Agar Giperbola 
 nuqtadan oʻtsa, uning asimptotalari tenglamasini tuzing. 
11.61. 
 
 giperbola fokusidan asimptotalarigacha boʻlgan masofalar va 
asimptotalari orasidagi burchak topilsin. 
11.62. 
 Biror uchidan fokuslarigacha boʻlgan masofalari 9 va 1 ga teng boʻlgan 
giperbolaning kanonik tenglamasi yozilsin. 
11.63. 
 
 nuqtadan oʻtuvchi, koordinata oʻqlariga nisbatan simmetrik 
boʻlgan giperbolaning haqiqiy yarim oʻqi 
 Giperbolaning chap fokusidan 
asimptotalariga tushirilgan perpendikulyarning tenglamalari yozilsin. 
11.64. 
 
 giperbola fokuslari koordinatalarini va asimptotalari 
orasidagi burchakni toping. 
11.65. 
 Uchlari 
  ellipsning  fokuslarida, fokuslari esa uning uchlarida 
boʻlgan giperbola tenglamasini yozing. 
11.66. 
 Agar parabola 
 toʻgʻri chiziq va 
 aylananing 
kesishish nuqtalaridan oʻtsa, uning tenglamasi va direktrisasini yozing. 
11.67. 
 1) 
 va 
 nuqtalardan oʻtuvchi va 
 oʻqiga simmetrik;  
2) 
 va 
 nuqtalardan oʻtuvchi va 
 oʻqiga simmetrik boʻlgan 
parabola tenglamasini yozing. 
11.68. 
 
 parabolada fokal radius vektor 4,5 ga teng boʻlgan nuqtani toping. 
11.69. 
 Markazi 
 parabolaning fokusida boʻlib, parabola direktrisasiga 
urinuvchi aylana tenglamasi yozilsin. Parabola va aylananing kesishgan nuqtalari 
topilsin. 
 
 
 
 
2
2
4
4
x
y


2


2 ; 3
M
a
a


1
7; 0
F



2
7; 0
F
 
2; 0
A
1
2
2
2
2


b
y
a
x
3
6;
5
2
M 





4.
a

2
2
2
y
a
x


2
2
1
25
9
x
y


x y

2
2
6
0
x
x y



 
0; 0
O


1; 2
A

Ox
 
0; 0
O
 
2; 4
B
Oy
2
6
y
x

2
2
y
px


 
59 
12-amaliy mashg‘ulot. Analitik geometriya elementlari 
 
12.1. 


2; 6
nuqtadan oʻtuvchi va 
Ox
oʻq bilan 
5
arctg
burchak tashkil etuvchi 
toʻgʻri chiziqning tenglamasini tuzing. 
Yechish.
 Toʻgʻri chiziqning burchak koeffisiyentli tenglamasini tuzish uchun 
k
va 
b
 ni hisoblash kerak. 


5
5,
k tg arctg


 
b
 ni hisoblash uchun 
y kx b


 
tenglamaga 
k
 ning topilgan qiymatini hamda 
x
 va 
y
 oʻzgaruvchilarning oʻrniga 
berilgan nuqtaning koordinatalarini qoʻyamiz.  
6 5 2 b
  
  bu yerdan 
4
b
 
 
Izlanayotgan tenglama 
5
4
y
x


 
12.2. 


2; 5
A
 nuqtadan oʻtuvchi va ordinata oʻqida 
7
b

 kesma ajratuvchi 
toʻgʻri chiziq tenglamasini yozing. 
12.3. 
3
2
6 0
x
y

 
 toʻgʻri chiziqning 
Ox
 oʻqqa ogʻish burchagini hisoblang. 
Yechish.
 
3
2
6 0
x
y

 
  tenglamani 
y
 ga nisbatan yechib, 
3
3
2
y
x
 

 ni 
hosil qilamiz, bu yerdan 
3
2
k
 
 
biroq 
k tg


 demak, 
3
.
2
tg

 
 Jadvaldan 
0
0
'
0
'
180
56 19
123 41




 ni topamiz. 
12.4. 
2
2
5 0
x
y

 
 toʻgʻri chiziq 
Ox
 oʻqining musbat yoʻnalishi bilan qanday 
burchak hosil qiladi?  
12.5. 
Toʻg‘ri chiziq Ox oʻqdan 3 ga, 
Oy
  oʻqdan 5  ga teng kesma ajratadi. Bu 
toʻgʻri chiziqning tenglamasini tuzing.  
Yechish.
 Masala shartida 
3
a
  va 
5.
b
  Bu qiymatlarni 
1
x
y
a
b
 
 
- toʻgʻri 
chiziqning koordinata oʻqlaridan ajratgan kesmalari boʻyicha tenglamasiga 
qoʻyamiz: 
1
3
5
x
y
 
 ga ega boʻlamiz.  
12.6. 
4
3
36 0
x
y



 toʻgʻri chiziq, koordinata oʻqlari bilan hosil qilgan 
uchburchakning yuzini toping. 
12.7. 
Agar toʻgʻri chiziq koordinata oʻqlaridan teng kesmalar ajratsa va toʻgʻri 
chiziqni koordinata oʻqlari orasidagi kesmasi 
5 2
 ga teng boʻlsa, toʻgʻri chiziq 
tenglamasini yozing. 
12.8.   


2; 3
A
  va 


1; 4
B

 nuqtalardan oʻtuvchi toʻgʻri chiziqning tenglamasini 
tuzing.  

 
60 
Yechish.
 Masala shartida quyidagilar berilgan 
2;
A
x

 
1;
B
x
 
 
3
A
y
 
 va 
4.
B
y

 Bu qiymatlarni berilgan ikki nuqtadan oʻtuvchi toʻgʻri chiziq tenglamasiga 
qoʻyib quyidagilarni topamiz: 
3
2
4 3
1 2
y
x




 
 yoki 
7
3
5 0.
x
y

 
 
12.9. 
Koordinata boshidan va 


2; 3
A
 
 nuqtadan oʻtuvchi toʻgʻri chiziq 
tenglamasini yozing.  
12.10. 


1; 3
A

 va 


4; 2
B

 nuqtalardan oʻtuvchi toʻgʻri chiziq tenglamasini 
yozing. 
12.11. 
2
y
x

 va 
5
y
x

 toʻgʻri chiziqlar orasidagi oʻtkir burchakni toping. 
Yechish.
 Berilgan toʻgʻri chiziqlarning burchak koeffisiyentlari 2 va 5  ga teng. 
Ikkita toʻgʻri chiziq orasidagi oʻtkir burchakni hisoblash uchun 
1
k
 va 
2
k
larni 
0
tg


 boʻladigan qilib (chunki oʻtkir burchakning tangensi – musbat son) tanlash 
kerak. Buning uchun 
2
5
k

  va 
2
2
k

  deb olamiz. 
2
1
1 2
1
k
k
tg
k k




 formula 
boʻyicha: 
5 2
3
0,2727.
1 5 2 11
tg





 
 

 burchakni jadvaldan topamiz 
0
'
3
15 15.
11
arctg



 
12.12. 
Toʻgʻri chiziqlar orasidagi burchakni toping: 
1) 








1
2
1
3
2
x
у
x
у
   2) 









0
1
3
2
0
7
5
у
x
у
x
  
3) 







4
3
0
2
x
у
у
x
 
12.13. 


2; 4
M

 nuqtadan 
2
3
6 0
x
y

 
 toʻgʻri chiziqqa parallel boʻlib oʻtuvchi 
toʻgʻri chiziqning tenglamasini tuzing.  
Yechish.
 
2
3
6 0
x
y

 
 toʻgʻri chiziqning burchak koeffisiyentini topish uchun 
uning tenglamasini  y   ga nisbatan yechamiz: 
2
2,
3
y
x


 bu yerdan burchak 
koeffisiyenti 
1
2
.
3
k

 Izlanayotgan toʻgʻri chiziqning burchak koeffisiyenti berilgan 
toʻgʻri chiziqning burchak koeffisiyentiga teng boʻladi, chunki toʻgʻri chiziqlar 
parallel, ya’ni 
1
2
2
.
3
k
k


 Izlanayotgan toʻgʻri chiziq 


2; 4
M

 nuqtadan oʻtadi 
va 
2
2
3
k

 burchak koeffisiyentga ega boʻladi. Bu qiymatlarni berilgan nuqtadan 

 
61 
berilgan yoʻnalishda oʻtuvchi toʻgʻri chiziqning tenglamasiga qoʻyib, 


2
4
2
3
y
x
 

 yoki 
2
3
16 0
x
y



 ni hosil qilamiz.  
12.14. 
 
2; 3
M
 nuqtadan 
5
4
20 0
x
y



 toʻgʻri chiziqqa perpendikulyar boʻlib 
oʻtuvchi toʻgʻri chiziqning tenglamasini tuzing.  
Yechish.
 
5
4
20 0
x
y



 toʻgʻri chiziqning burchak koeffisiyenti 
1
5
.
4
k

 
Izlanayotgan toʻgʻri chiziqning burchak koeffisiyentini 
2
1
1
k
k
 
 formula boʻyicha 
topamiz: 
2
1
1
4
.
5
k
k
 
 
 
2
4
5
k
   ni va 
 
2; 3
M
 nuqtaning koordinatalarini 
toʻgʻri chiziqlar dastasining tenglamasiga qoʻyib, 


0
0
y y
k x x



 


4
3
2
5
y
x
  

 yoki 
4
5
23 0
x
y



 ni hosil qilamiz.  
12.15.
 
3
2
7 0, 6
4
9 0,
x
y
x
y

 

 
 
6
4
5 0, 2
3
6 0
x
y
x
y

 

   
toʻgʻri chiziqlar orasidan parallel va perpendikulyar toʻgʻri chiziqlarni aniqlang. 
12.16.
 


3; 4
M
 
 nuqtadan oʻtuvchi koordinata oʻqlariga parallel toʻgʻri 
chiziqlar tenglamasini yozing. 
12.17.
 Toʻgʻri chiziq koordinata oʻqlaridan teng kesmalar ajratadi. Agar toʻgʻri 
chiziq koordinata oʻqlari bilan hosil qilgan uchburchak yuzi 8 kv.birl. boʻlsa, 
toʻgʻri chiziq tenglamasini yozing. 
12.18.
 
2,
4
y
y
 

 toʻgʻri chiziqlar 
3
4
5 0
x
y

 
 toʻgʻri chiziqni 
A
 va 
B
 
nuqtalarda kesib oʻtadi.  AB  vektorni uzunligi va uni koordinata oʻqlaridagi 
proyektsiyalarini toping. 
12.19.
 Agar toʻgʻri chiziq koordinata oʻqlari bilan hosil qilgan uchburchak yuzi 6 
kv.b. boʻlsa va toʻgʻri chiziq 


4; 6

 nuqtadan oʻtsa, uning tenglamasini yozing. 
12.20.
 Toʻgʻri chiziqlar orasidagi burchakni toping: 
a) 3
2
0
6
4
9 0
x
у
va x
у



   
b) 3
4
0
8
6
11
x
у
va x
у



  
12.21.
 


2; 3
A
 nuqtadan oʻtuvchi toʻgʻri chiziqlar dastasini yozing. Bu dastadan 
Ox
 oʻqi bilan 1) 
0
45
, 2) 
0
60
, 3) 
0
135
, 4) 
0
0
 burchaklar tashkil etuvchi toʻgʻri 
chiziqni toping. 
12.22.
 


2; 5
A

 nuqta va 
2
0
x y
 
 toʻgʻri chiziqni yasang. 
A
 nuqtadan 
oʻtuvchi va  
1) berilgan toʻgʻri chiziqqa parallel  

 
62 
2) berilgan toʻgʻri chiziqqa perpendikulyar toʻgʻri chiziq tenglamasini yozing. 
12.23.
 
2
5
10 0
x
y



 toʻgʻri chiziqni koordinata oʻqlari bilan kesishish 
nuqtalariga perpendikulyar qoʻyilgan. Ularning tenglamasini yozing. 
12.24.
 Uchlari 


2; 0
A

, 


4; 2
B

 va 


4; 2
C
 boʻlgan uchburchakka 
BD
 
balandlik va 
BE
 mediana oʻtkazilgan. 
AC
 tomon, 
BE
 mediana va 
BD
 
balandlik tenglamalarini yozing. 
12.25.
 Uchburchak tomonlari quyidagi tenglamalar bilan berilgan: 
3
0
x
y


, 
3
x

, 
2
3 0
x
y

 
. Uchburchakni burchaklari va uchlarini toping. 
12.26.
 Uchlari 


2; 0
A

, 


2; 4
B
 va 
 
4;0
C
 boʻlgan uchburchak berilgan. 
Uchburchak tomonlari, 
AE
 medianasi, 
BD
 balandlik tenglamalarini, 
AE
 
mediana uzunligini toping.  
12.27. 
Tomonlari 
4
x y
 
, 
3
0
x y
 
, 
3
8 0
x
y

 
 tenglamalar bilan 
berilgan uchburchakni burchaklari,  uchlari va uchburchakni yuzini toping.  
12.28. 
Toʻgʻri chiziqlarni normal koʻrinishiga keltiring: 
1) 
3
4
20 0
x
y



,                    2) 
3 0
x y
  
. 
12.29. 
Agar toʻgʻri chiziqli normali 
2
p

 boʻlib, bu normalning 
Ox
  oʻqining 
musbat yoʻnalishi bilan tashkil qilgan burchagi: 
1) 
0
45
,          2) 
0
135
,        3) 
0
225
,       4) 
0
315
 
boʻlsa, toʻgʻri chiziq tenglamasini yozing. 
12.30.
 
     
4 3
2 1
1 0
A ; , B ; , C ;
 nuqtalardan 
3
4
10 0
x
y



 toʻgʻri 
chiziqqacha boʻlgan masofalarni toping.  
12.31.
 
2
3
6
x
y


 va 
4
6
25
x
y


 toʻgʻri chiziqlarni parallelligini koʻrsating 
va ular orasidagi masofani toping. 
12.32.
 Agar 
5
y kx


 toʻgʻri chiziq koordinata boshidan 
5
d

 masofa 
uzoqlikda boʻlsa, 
k
 ni toping. 
12.33.
 
8
15
0
x
y


  toʻgʻri chiziqqa parallel boʻlgan va 


4 2
A ;
 nuqtadan toʻrt 
birlik masofa uzoqlikda boʻlgan toʻgʻri chiziq tenglamasini yozing. 
12.34.
 
4 2
y
x
 
 toʻgʻri chiziqqa qaraganda 
2
4
y
x


 toʻgʻri chiziqdan uch 
barobar uzoqlikda harakatlanayotgan 


M x; y
  nuqtaning izi tenglamasini 
yozing. 
12.35.
 


1 2
N ;

 nuqtadan va 
2
6 0
x y
  
, 
3
5
15 0
x
y



 toʻgʻri 
chiziqlarning kesishish nuqtasi 
M
 nuqtadan oʻtuvchi toʻgʻri chiziq tenglamasini 
yozing. 

 
63 
12.36.
 
3
0
x
y


 toʻgʻri chiziqqa parallel va 
5
10 0
x y
 

, 
8
4
9 0
x
y

 
 
toʻgʻri chiziqlarning kesishish nuqtasi 
M
 nuqtadan oʻtuvchi toʻgʻri chiziq 
tenglamasini yozing. 
12.37.
 
2
3
12
x
y


 va 
3
2
12
x
y


 toʻgʻri chiziqlar orasidagi burchaklar 
bissektrisalarining tenglamalari yozilsin. 
12.38.
 
3
4
12
x
y


 va 
0
y

 toʻgʻri chiziqlar orasidagi burchaklar 
bissektrisalarinig tenglamalari yozilsin. 
12.39.
 Kvadrat tomonlaridan birining tenglamasi 
3
7 0
x
y

 
 va diogonallari 
kesishgan nuqta 


0
1
P ;

 berilgan. Kvadratning qolgan uchta tomon 
tenglamalarini yozing. 
12.40.
 Romb tomonlaridan birining tenglamasi 
5
2
9 0
x
y

 
. Agar romb 
diogonallari 


0; 0
O
 da kesishgan boʻlib, ulardan birining tenglamasi 
2
y
x

 
boʻlsa, pombning qolgan uchta tomon tenglamasini yozing. 
12.41.
 Uchburchak tomonlarining oʻrtalari berilgan 
 
1; 2
P
 – 
AB
 tomonining 
oʻrtasi, 


4; 3
R

 – 
BC
 tomonining oʻrtasi, 


5; 1
Q

 – 
AC
 tomonining 
oʻrtasi, 
CF
 balandlik va 
AR
 mediana kesishgan nuqta topilsin.  
12.42.
 Rombning ikki qarama-qarshi uchlarining koordinatalari berilgan, 


1; 4
A

, 


1; 3
C

. Romb diogonallarining tenglamasini yozing.  
12.43.
 Agar 


5; 5
A

 va 
 
3; 1
B
 uchburchakning uchlari, 


2; 5
D
 esa 
balandliklari kesishgan nuqta boʻlsa, uchburchak tomonlarining tenglamasini 
yozing.  
12.44.
 


0; 0
O
 va 
( 3; 0)
A

 nuqtalar berilgan 
OA
 kesmada parallelogramm 
yasalgan, uning diogonallari 


0; 2
B
 nuqtada kesishadi. Parallelogramm 
tomonlari va diogonallari tenglamasini yozing. 
12.45.
 Asos tomonlari 8 sm va 2 sm boʻlgan teng yonli trapetsiyaning oʻtkir 
burchagi 
0
45
. Trapetsiyaning katta asosi 
Ox
  oʻqida yotsa, 
Oy
  oʻqi esa 
trapetsiyaning simmetriya oʻqi boʻlsa, trapetsiyaning tomonlari tenglamasini 
yozing.  
12.46.
 Koordinatalar boshidan 
2x y a
 
 toʻgʻri chiziq bilan teng yonli 
uchburchak hosil qiluvchi ikki oʻzaro perpendikulyar toʻgʻri chiziq oʻtkazilgan. 
Shu uchburchakning yuzini toping. 

 
64 
12.47.
 Uchburchak 
AB
 tomonining tenglamasi 
3
3 0
x
y

 
 va 
AC
 
tomonining tenglamasi 
3
3 0
x
y

 
 hamda 
AD
 balandligining asosi 


1; 3
D

 berilgan boʻlsa, uchburchakning ichki burchaklari topilsin. 
12.48.
 Romb ikki tomonining tenglamalari 
2
4
x
y


 va 
2
10
x
y


 hamda 
diogonallaridan birining tenglamasi 
2
y x
 
 ma’lum boʻlsa, romb uchlarining 
koordinatalari hisoblansin. 
12.49.
 
2 5
2 5
0
4
2
x
y




 toʻgʻri chiziq berilgan. Toʻgʻri chiziqning  
a) umumiy tenglamasi, 
b) burchak koeffisiyentli tenglamasi, 
c) kesmalarga nisbatan tenglamasini yozing. 
12.50.  
  nuqtadan 
 tekislikkacha boʻlgan 
masofani toping.  
Yechish.
 Nuqtadan tekislikkacha boʻlgan masofa formulasidan foydalanib, 
 
 ni topamiz. 
12.51. 
 
  nuqtadan  
 tekislikkacha boʻlgan masofa 
topilsin. 
12.52. 
 nuqtadan 
oʻtib, 
 vektorga perpendikulyar 
tekislik tenglamasini tuzing.