M sohasi: im yo‘nalis oliy V t “o iqtis

10.9.
  
 


1
3
2
3
1
2
3
2
; 4
2 ; 3
A x
x
x
x
x
x
x
x






 operatorni chiziqlilikka tekshiring. 
Yechish.
 Operatorni chiziqlilikka tekshirish uchun  



 

 
A x y
A x
A y



 


 hamda 

 

 
A
x
A x





 tengliklarni bajarilishini tekshirish kifoya.  

 
48 













1
1
3
3
2
2
3
3
1
1
2
2
3
3
2
4
2
3
x
y
x
y
A x y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
























 
 
1
3
1
3
2
3
2
3
1
2
3
1
2
3
2
2
4
2
4
2
3
3
x
x
y
y
x
x
y
y
x
x
x
y
y
y
 















 




 

 

 
1
3
1
3
2
3
2
3
1
2
3
1
2
3
2
2
4
2
4
2
3
3
x
x
y
y
x
x
y
y
A x
A y
x
x
x
y
y
y



 


 








 


 






 



 

 

 
1
3
1
3
2
3
2
3
1
2
3
1
2
3
2
2
4
2
4
2
3
3
x
x
x
x
A
x
x
x
x
x
A x
x
x
x
x
x
x











































 
10.10.
 Berilgan  
 


2
1
2
3
1
2
3
8 ; 5
3
;2
2
A x
x
x
x
x
x
x
x






 operatorlarning chiziqli 
operator ekanligini isbotlang.  
10.11. 


 



 

1 2
1
2
1
2
1 2
1
2
1
2
;
2 ;3
,
;
4
;7
A x x
x
x x x
B x x
x x x x
 




 operatorlarning 
chiziqli operator ekanligini isbotlang. 
10.12.
 Chizqli  A  operator 
1 4
9 1
A


 



 matrisa bilan berilgan. Chiziqli 
operatorning hos qiymatlari va hos vektorlarini toping. 
Yechish.
 Xarakteristik tenglama tuzamiz:  
1
4
0
9
1
A
E








     
2
1
2
2
35 0,
5,
7







 

 
1
x
C
  ga tegishli 
 


1
1
2
;
X
x x


 hos vektorni topamiz. Buning uchun quyidagi 
tenglamani yechamiz: 


1
1
2
1
2
6 4
0
5,
,
,
1,5
9 6
0
x
A
E x
x
x
x



 


 
 

 


 
 


 


 
 

 
Agar 
1
x
C
  deb olsak, 
 


1
2
1,5 ,
; 1,5
x
C X
C
C
 



 vektorlar har qanday 
0
C
  
uchun  A   operatorni hos qiymati 
1
5

   ga tegishli hos vektor boʻladi. Huddi 
shunday 
2
7

  hos qiymati uchun  A   operatorni hos vektorlarni 
 
2
1
1
1
2
;
,
0
3
X
C C
C









 vektorlar tashkil etadi. 
 

 
49 
 
Berilgan matrisalarning hos qiymatlari va hos vektorlarini toping: 
10.13.
 
2
4
 
1
3
A


 




  
  10.14.
 
5 4
8 9
A


 


  
10.15.
 
0
 
0
A




 


    10.16. 
6
4
4
2
A



 



    
10.17.
 
a
b
A
b
a



 


    10.18. 
2
1 1
1 2
1
0
0
1
A





 







 
10.19.
 
1 1 3
1 5 1
3 1 1
A




 





 
  10.20.
 
1
3 4
4
7 8
6
7 7
A














 
10.21.
 
1 2
2
1 0
3
1 3
0
А





 




  
  10.22.
 
2
1
2
5
3
3
1 0
2
A















 
10.23.
 
0
1 0
4 4 0
2 1 2
A




 







 
  10.24.
 
4
5 2
5
7 3
6
9 4
A














 
10.25.
 















8
4
1
3
7
3
3
3
1
А
 
  10.26.
 














13
24
12
10
19
10
6
12
7
А
 
10.27.
 












1
0
1
1
2
1
0
0
1
А
 
10.28.
 Berilgan  
 


2
3
1
2
3
1
2
3
3
; 2
; 2
4
A x
x
x
x
x
x
x
x
x








 va 

 


1
2
2
3
2
3
2 ;
; 2
3
B x
x
x x
x
x
x






 operatorlarga koʻra 

 
C
A B


 operator 
hamda uning  C  matrisasi topilsin. 
10.29.
 


 



 

1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
;
4 ; 2
5 ,
;
2 ; 3
A x x
x
x
x
x B x x
x
x x x
 

 

 operatorlarga 
koʻra 

 
C
A B


 operator hamda  uning  C  matrisasini toping. 
10.30.
   

 


1
2
3
1
2
3
1
3
4
2
4 ; 10
6
6 ; 2
4
A x
x
x
x
x
x
x
x
x








 operatorning xos 
qiymat va unga mos keluvchi xos vektorlarini toping. 

 
50 
10.31.
 
1 4
9 1
A


 



 matrisa bilan berilgan chiziqli operatorning xos soni va xos 
vektorini toping. 
 
1
2
,
e e
 
 bazisda 

A
 operator 
A
 matrisaga ega. 
'
'
1
2
,
e e
 
 bazisida 

A
 operatorning 
matrisasini toping. 
10.32. 
3 6
6 8
A


 



,
'
1
1
2
'
2
1
2
2
3
e
e
e
e
e
e
 



 


 
 

;   10.33. 
3 7
6 8
A


 



, 
'
1
1
2
'
2
1
2
2
2
3
e
e
e
e
e
e









 



; 
10.34.
 
3 6
6 8
A


 



, 
'
1
1
2
'
2
1
2
2
4
3
e
e
e
e
e
e









 



;    
10.35.
 
3 7
6 5
A


 



, 
'
1
1
2
'
2
1
2
2
3
2
3
e
e
e
e
e
e
 












; 
10.36. 
5 6
7 8
A


 



, 
'
1
1
2
'
2
1
2
2
5
3
e
e
e
e
e
e
 



 




 

;    
10.37. 
3 7
6
8
A



 




, 
'
1
1
2
'
2
1
2
2
7
2
3
e
e
e
e
e
e
 












 
 
 
11-amaliy mashg‘ulot. Kvadratik formalar 
 
11.1. 
2
2
2
1
2
3
1
1 2
1 3
2
3
(
) 4
1
; ;
2
10
3
f x x x
x
x x
x x
x
x





 kvadratik formani matrisaviy 
koʻrinishda yozing.  
Yechish.
 Kvadratik formaning matrisasini topamiz: 












































3
0
5
0
1
6
5
6
4
,
3
0
5
0
1
6
5
6
4
3
2
1
3
2
1
A
x
x
x
x
x
x
f
 
 
Quyidagi berilgan kvadratik formalarni matrisaviy koʻrinishda yozing. 
11.2.  
2
2
2
1
2
3
1
1 2
1 3
2
3
(
)
3
8
;
4
6
;
f x x x
x
x x
x x
x
x
 




 
11.3. 
2
2
2
1
2
3
1
1 2
3
2
2
3
(
)
6
8
1
; ;
4
5
f x x x
x
x x
x x
x
x





 
11.4. 
2
2
1
2
1
1 2
2
(
) 2
4
3
;
f x x
x
x x
x



  kvadratik forma berilgan. 
1
1
2
2
1
2
2
3
x
y
y
x
y
y







 
chiziqli almashtirish orqali hosil boʻlgan 


1
2
;
f y y
 kvadratik formani toping. 

 
51 
Yechish.
 Berilgan kvadratik formaning matrisasi 
2 2
2
3
A


 




 chiziqli almashtirish 
matrisasi 
2
3
1 1
C



 



 boʻladi. Qidirilayotgan kvadratik formaning matrisasini 
quyidagicha topamiz: 


































3
17
17
13
1
1
3
2
3
2
2
2
1
3
1
2
'
C
A
C
A
t
 
kvadratik formaning koʻrinishi: 
2
2
1
2
1
1 2
2
(
) 13
34
3
;
f y y
y
y y
y



  
11.5. 


2
2
1
2
1
1 2
2
;
3
6
4
f x x
x
x x
x



 kvadratik forma berilgan 
1
1
2
2
1
2
3
6
x
y
y
x
y
y
  

   

 
almashtirish yordamida hosil boʻlgan kvadratik formani toping. 
11.6.
 Kvadratik forma


,
4
3
,
2
1
2
2
2
1
2
1
x
x
x
x
x
x
f



 berilgan. 
1
1
2
2
1
2
2
x
y
y
x
y
y







 
chiziqli 
almashtirish orqali hosil boʻlgan kvadratik formani toping. 
11.7. 
Kvadratik formani kanonik koʻrinishga keltiring. 
2
2
1
2
3
1
1 2
3
2 3
3
1
; ;
4
(
)
3
2
f x x x
x
x x
x x
x x
x





 
Yechish.
 
2
2
1
2
3
1
1
2
3
2 3
3
; ;
(3
)
(
)
4
2
f x x x
x
x x
x
x x
x





  
1
x  oʻzgaruvchining kvadrati 
oʻrnida turgan koeffisiyenti noldan farqli boʻlgani uchun, 
1
x  oʻzgaruvchining toʻliq 
kvadratini topamiz: 






2
3
3
2
2
2
2
3
2
1
2
3
3
2
2
3
2
2
3
2
3
2
1
2
1
3
8
4
9
2
2
3
2
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f















































 
endi oʻzgaruvchi 
2
x
 uchun kvadratini topamiz: 
,
9
37
9
16
4
9
2
2
3
2
3
2
3
2
2
3
2
1
x
x
x
x
x
x
f


















 
Demak, noʻldan farqli chiziqli almashtirish 
3
2
1
1
2
2
3
x
x
x
y



     
3
2
2
9
16
x
x
y


     
3
3
y
x

 
berilgan kvadratik formani kanonik koʻrinishga keltiradi: 


2
3
2
2
2
1
3
2
1
9
37
4
9
,
,
y
y
y
y
y
y
f



 
 
Kvadratik formani kanonik koʻrinishga keltiring: 
11.8. 
2
2
2
1
2
3
1
1 2
3
2
3
1
; ;
12
1
(
)
5
3
5
f x x x
x
x x
x x
x
x





 

 
52 
11.9. 
2
2
1
2
3
2
3
1 2
1 3
2 3
(
) 3
3
4
; ;
4
2
f x x x
x
x
x x
x x
x x





 
11.10. 
2
2
1
2
1
1 2
2
;
6
(
) 13
5
f x x
x
x x
x



 kadratik formaning ishorasini aniqlang. 
Yechish.
 Kvadratik formaning matrisasi 
13
3
3 5
A



 




 boʻladi. Xarakteristik 
tenglama tuzamiz: 
13
3
0
3
5
A
E










   yoki  
0
56
18
2





 
ya’ni, 
4
,
14
2
1




 xarakteristik tenglamaning yechimlari musbat boʻlgani 
uchun, 
f
 - musbat aniqlangan kvadratik forma boʻladi. 
 
Quyidagi kvadratik formalarni ishoradasi aniqlang: