M sohasi: im yo‘nalis oliy V t “o iqtis

8.5.
 
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
2
0
2
0
2
2
4
3
0
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x

















 
8.6.
 
3
2
2
3
4
3
1
x
y
z
x y
z
x y
z




   

   

   
 
 
8.7.
 
1
2
3
4
1
2
3
4
2
1
3
3
x
x
x
x
x
x
x
x





    

 
8.8.
 
   
 
 
 
8.9.
 
 
8.10.
 
 
 
 
 
8.11.
 
 
8.12.
 
   
 
 
8.13.
 
 











1
7
4
1
5
3
3
2
2
1
2
1
2
1
x
x
x
x
x
x

























7
4
11
3
4
7
12
2
2
3
2
4
3
2
5
3
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x




















5
16
3
8
6
5
12
10
7
1
4
4
2
3
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x














5
12
15
3
3
8
10
2
1
4
5
3
2
1
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x















1
4
3
3
6
9
1
2
3
3
2
1
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x














0
5
2
4
4
3
18
4
2
3
2
1
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x

 
39 
8.14.
 
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
2
3
5
3
5
2
4
2
5
3
4
0
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x




















   
8.15.
 
1
2
3
4
1
2
3
4
2
1
2
4
3
2
x
x
x
x
x
x
x
x











 
8.16.
 
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
2
2
1
2
4
3
4
5
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x













   
8.17.
 
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
3
3
2
1
2
3
5
2
2
2
2
3
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x




















 
8.18.
 
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
2
3
2
14
3
2
10
2
6
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x

















 
 
8.19.
 
 
8.20.
 
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
2
0
4
2
2
0
3
3
3
0
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х





 










 
 
8.21.
 
1
2
3
1
2
3
1
2
3
3
2
0
2
2
2
0
2
3
0
х
х
х
х
х
х
х
х
х





  



 



 
8.22.
 
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
2
3
3
0
2
3
5
0
2
0
5
0
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х





















  
 
8.23.
 
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
2
4
3
0
3
5
6
4
0
4
5
2
3
0
4
9
0
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х

















  



 
8.24.
 
8
2
2
0
3
0
3
4
0
х
у
z
х
у
z
у
z




   

   

  
 
 
8.25.
 
3
2
6
0
2
3
0
5
0
х
у
z
х
у
z
х
у
z









  


 
8.26.
 
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
3
3
0
3
2
0
0
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х

















  
 
8.27.
 
 
8.28.
 
1
2
3
4
1
2
3
4
3
6
1
3
3
4
х
х
х
х
х
х
х
х









 

  
 
8.29.
 
1
2
3
4
2
3
4
2
3
4
2
1
2
2
3
3
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х







 






 
8.30.
 
1
2
3
1
2
3
8
2
5
2
4
х
х
х
х
х
х









 
 
 
8.31.
 
 
8.32.
 
1
2
3
4
2
3
4
1
3
4
5
2
2
2
2
2
2
2
2
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х















 
 
8.33.
 
 

















3
6
4
7
5
5
3
4
7
2
4
2
5
3
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x























0
19
24
8
3
0
3
2
5
4
0
4
6
5
3
0
3
4
2
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х












1
2
4
2
3
4
3
2
1
4
3
2
1
х
х
х
х
х
х
х
х

















0
2
3
0
2
18
3
2
3
4
3
2
1
4
2
1
4
3
2
1
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х

 
40 
8.34.
 
5
2
3
3
2
3
3
х
у
z
х
у
z
 



   

 
 
 
8.35.
 
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
2
4
2
2
3
2
2
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х













 





 
 
 
9-amaliy mashg‘ulot. Arifmetik vektor fazo. Chiziqli fazo 
 
9.1.
 
1
(3; 4;1)
A

  va 
2
(4;6; 3)
A
  nuqtalar berilgan. 
1 2
a A A

 
  vektorning 
koordinatalarini toping.  
Yechish.__parallelogrammning_toʻrtinchi_D_uchining_koordinatalarini_,_,__x_y_z__bilan_belgilaymiz'>Yechish.
 Ushbu holda 
1
3,
x
  
1
4,
y
   
1
1
z
  va 
2
4,
x
  
2
6,
y
   
2
3.
z
   


1 2
2
1
2
1
2
1
;
;
a A A
x
x y
y z
z





 
 formula boʻyicha 


1 2
1; 10; 4
a A A



 
 ga 
ega boʻlamiz.  
9.2.
 (1;3;2)
(5;8; 1)
A
va B
  nuqtalar berilgan boʻlsa, 
a
AB



 
vektorni toping. 
9.3.
 ( 2;3;5)
(3; 8; 1)
A
va B

   nuqtalar berilgan boʻlsa, 
a
AB



 
vektorni toping. 
9.4.
 Parallelogrammning uchta ketma-ket uchi  (1; 2;3),
A

  (3;2;1),
B
 
(6;4;4)
C
 
berilgan. Parallelogrammning toʻrtinchi  D  uchini toping. 
Yechish.
 parallelogrammning toʻrtinchi  D  uchining koordinatalarini  , ,
x y z  
bilan 
belgilaymiz 
( ; ; ).
D x y z
  BC  va 
AD
 vektorlarning koordinatalarini topamiz. 


6 3; 4 2; 4 1 ,
BC




 


3; 2; 3 ,
BC

 


1;
2;
3 .
AD
x
y
z




 
ABCD
parallelogrammda  BC  va  AD  vektorlar tengligidan, 
1 3,
x
 
 
2 2,
y
 
3 3.
z
   
Demak, 
4,
x

0,
y

6,
z

(4; 0; 6).
D
 
9.5.
 Parallelogramning ketma-ket uchta  (1; 2;3),
(3;2;1)
(6;4;4)
A
B
va C

 uchlari 
berilgan. Uning toʻrtinchi uchini toping. 
9.6.
 
a

 vektor  Ox  va  Oy  oʻqlari bilan mos ravishda 
0
60


 va 
0
120


 burchak 
tashkil qiladi. Agar 
2
a


 boʻlsa, 
a

 vektorning koordinatalarini toping. 
Yechish.
  , ,
x y z  
a

  vektorning koordinatalari, ya’ni 


; ; .
a
x y z


 
a

  vektorning 
yoʻnaltiruvchi kosinuslarini cos
,
x
a



  cos
,
y
a



  cos
z
a



 
munosabatlardan 
topamiz.  
2
2
2
cos
cos
cos
1,






    
2
2
0
2
0
cos
1 cos 60
cos 120 ,

 

    
2
1
cos
.
2


 

 
41 
Bu yerdan 
2
cos
2


 
yoki 
2
cos
.
2

 
 
Masala sharti ikki vektorni 
qanoatlantiradi 
1
a

 va 
2
.
a

 
1
a

 vektorning yoʻnaltiruvchi kosinuslari 
1
cos
,
2


1
cos
,
2

 
2
cos
2


 
va 
2
a

 vektorning yoʻnaltiruvchi kosinuslari 
1
cos
,
2


1
cos
,
2

 
2
cos
.
2

 
 
1
1
,
2
2
x

 
1
1
,
2
2
y
 
 
1
2
2
2
z

 
va 
2
1
,
2
2
x

 
2
1
,
2
2
y
 
 
2
2
2
2
z


 ga egamiz. Bu yerdan  
1
1,
x
  
1
1,
y
   
1
2
z

 va 
2
1,
x
  
2
1,
y
   
2
2.
z
 
 Demak, 


1
1; 1; 2
a

 
 va 


2
1; 1;
2 .
a

  
 
9.7.
  M  nuqtaning radius vektori Ox  oʻq bilan  45

 va Oy  oʻq bilan  60
  burchak 
hosil qiladi. Vektorning uzunligi 
6
r


. Agar  M  ning applikatasi manfiy boʻlsa, 
uning koordinatalarini aniqlang va 
r
OM

  vektorni  ;
i j va k
 

 birlik vektorlari 
orqali ifodalang.  
9.8.
   
3
4
a m i
j
k







 va 
4
7
b
i m j
k







 vektorlar berilgan.  m  ning qanday 
qiymatlarida vektorlar perpendikulyar boʻladi.  
Yechish.
 Bu vektorlarning skalyar koʻpaytmasini topamiz: 
4
3
28;
a b
m
m
 
 


 
a
b



 boʻlgani uchun 
0
a b
 
 
 boʻladi. Bundan 
7
28 0,
m


 ya’ni 
4.
m
  
9.9.
 
2
3
a
i
j
k




 

 va 
6
4
2
b
i
j
k







 vektorlar orasidagi burchakni hisoblang.  
Yechish.
  a b
a b Cos

 








 
 boʻlgani uchun 
 
ab
Cos
a b

  
 
 
 
1 6 2 4 3
2
8,
ab
       
 
 
1 4 9
14,
a

  

 
 
36 16 4 2 14.
b


 

 
Demak, 
8
2
cos
7
14 2 14




 va 
2
arccos .
7


 
9.10.
 
)
6
;
2
;
2
;
5
(
),
4
;
3
;
1
;
2
(


b
a
vektorlar berilgan: 
  

)
,
; 3
,
2
a a b
a b a
b


 skalyar koʻpaytmalarini toping; 
)
b a va b  vektorlar orasidagi burchak kosinusini toping. 
9.11.
  (1; 3; 2; 0), (4; 2; 1; 3), (5; 3; 2; 1), (1; 2; 2; 3)
a
b
c
d



   vektorlar uchun 
quyidagilarni hisoblang: 

 
42 
a) vektorlarning ortogonallarini aniqlang;  
b) (
),(
),(
)
a b b c b d



 burchaklarni hisoblang. 
9.12.
 
2
3
5
a
i
j
k
 





 va 
2
b i
j k
 

 
 
 vektorlarning vektor koʻpaytmasini toping.  
Yechish.
 
3 5
2 5
2 3
2 3 5
,
2 1
1 1
1 2
1 2 1
i
j k
a b
i
j
k









  
 



 ya’ni 
7
3
.
a b
i
j k



  



 

 