Matematika-informatika fakulteti matematika yo`nalishi 22. 04-guruh talabasi Turodov Zohidjon Umidjon o`g`lining “Analitik geometriya” fanidan

1-natija.
Isbot. Bizga , oʻq berilgan boʻlsin: shunday OXYZ koordinatalar sistemasi kiritamizki, OX koordinata oʻqi bilan ustma-ust tushsin. Agar

boʻlsa, teoremaga koʻra va ,
tengliklami hosil qilamiz. Lekin vektorlarni qoʻshganda ularning koordinatalari
mos ravishda qoʻshilgani uchun munosabatni olamiz.

Tekislikda kutb koordinatalar sistemasini kiritish uchun birorta О nuqtani va bu nuqtadan oʻtuvchi oʻqni tanlab olamiz. Tanlangan nuqtani qutb boshi, oʻqni esa qutb oʻqi deb ataymiz va uni bilan belgilaymiz. Tekislikda berilgan ixtiyoriy O nuqtadan farqli M nuqta uchun bilan masofani, ( bilan esa oʻq bilan OM nur orasidagi burchakni belgilaymiz. Bu kattaliklar M nuqtaning qutb koordinatalari deyiladi va M( , ) koʻrinishda belgilanadi.

Tekislikning О nuqtadan farqli nuqtalari bilan qutb koordinatalari oʻrtasidagi moslik oʻzaro bir qiymatli boʻlishi uchun va kattaliklar uchun quyidagi chegara qoʻyiladi: 0< < + , 0 <2
Agar (.x ,y ) Dekart koordinatalar sistemasini 4-rasmdagidek kiritsak, quyidagi

2-chizma
x = , y =
bogʻlanishlarni olamiz.Berilgan M nuqtaning Dekart koordinatalari ma’lum boʻlsa, uning qutb koordinatalarini topish uchun

formula boʻyicha birinchi qutb koordinatani topamiz.Ikinchi qutb koordinatani topish uchun M nuqtaning qaysi chorakda joylashganligini bilishimiz kerak va

tengliklardan foydalanishimiz kerak.

Tekislikda O nuqtaga qoʻyilgan ikkita bazis vektorlar berilgan boʻlsin (3-chizma). Bu vektorlar orqali oʻtuvchi va toʻgʻri chiziqlarni olamiz .
3 - Ta’rif. Musbat yoʻnalishlari mos ravishda vektorlar bilan aniqlanuvchi va toʻgʻri chiziqlardan iborat boʻlgan sistema tekislikdagi affin koordinatalar sistemasi deyiladi va yoki
koʻrinishda belgilanadi. 0 nuqta koordinatalar boshi vektorlarni koordinat vektorlar deyiladi; toʻgʻri chiziqni Ox bilan belgilab absissalar oʻqi, toʻgʻri chiziqni esa Oy bilan belgilab ordinatalar oʻqi deb ataladi.
Tekislikda affin koordinatalar sistemasi berilgan boʻlsin. Shu tekislikda birorta N nuqtani olaylik (4-chizma ) vektorni N nuqtaning radius vektori deyiladi.
vektorni hamma vaqt bazis
vektorlari buyicha yoyib yozish mumkin:

sonlar radius
vektorning koordinatalari deyiladi va kabi yoziladi.
Radius vektorning koordinatalari nuqtaning ham koordinatalari deyiladi va uni kabi belgilaymiz. Bunda soni nuqtaning absissasi yoki birinchi koordinatasi, son esa nuqtaning ordinatasi yoki ikkinchi koordinatasi deyiladi.
Xullas, tekislikda affin koordinatalar sistemasi berilsa, istalgan nuqtaga uning koordinatalari boʻlmish bir juft sonlar mos keladi, aksincha, ma’lum tartibda olingan sonlariga, koordinatalari shu sonlardan iborat bitta N nuqta mos keladi.
Haqiqatan, tekislikda affin koordinatalar sistemasi berilgan boʻlsin (2-chizma) absissalar oʻqiga O nuqtadan boshlab vektorni, ordinatalar oʻqiga esa vektorlarni qoʻyib, va nuqtalardan Oy va Ox oʻqlarga parallel toʻgʻri chiziqlar oʻtkazamiz, ularning kesishgan nuqtasi izlanayotgan N nuqta boʻladi, chunki
Shunday qilib, ga nisbatan

Agar boʻlsa
Agar boʻlsa , ya’ni oʻqida yotadi.
Shunday qilib, absissa oʻqida yotgan nuqta koordinatalari va ordinata oʻqida yotgan nuqtaning koordinatalari boʻladi. Koordinatalar boshining koordinatalari boʻladi.
Koordinat oʻqlari tekislikni toʻrtta qismga ajratadi. Har bir qismni chorak deyiladi.
M(x, y) nuqta koordinat oʻqlarida yotmasa uning qaysi chorakda yotishini x, y sonlarning ishorasiga qarab aniqlash mumkin.
1-masala. AB vektorning boshi va oxiri B(x2, y2) koordinatalari bilan berilgan boʻlsa, vektor koordinatasini toping.(5-chizma)