Matematika va miqdoriy usullar

3-misol. 
tenglamani yeching. Qaralayotgan tenglama chiziqli emas, sababi, 
kasr maxrajida x no’malum qatnashgan. Uni avvalo chiziqli ko‘rinishga keltiraylik. Buning uchun 
uning ikkala tomonini (4 – Zx) ga ko‘paytiraylik: 
. Natijada: (2x+4) = 
5/3 

(4 – 2x) ni olamiz. Uning ikkala tomonini 3 ga ko‘paytirsak:
3 

(2x + 4) = 3 

5/3 

(4 – Zx). 
Qavslarni ochsak va ixchamlasak:
Z

2x+3

4 = 5

4 – 5

Zx 

6x + 12 = 20 – 15x 

6x + 15x = 20 – 12.
Demak 21x = 8 va bundan x = 21/8.
 
5) Yig‘indi belgisi 
Statistikaning ko‘p formulalarida yig‘indi belgisi 

dan foydalaniladi. Ma’lumki, 

(sigma) 
grek harfi bo‘lib, u yig‘indi degan ma’noni anglatadi va s 

x yozuv x miqdor barcha qiymatlarining 
yig‘indisini topish lozimligini anglatadi. Shunga o‘xshash, 

y – y qiymatlarining, 

xu yozuv x

u 
ko‘paytmalari yig‘indisini anglatadi. Demak: 
1
2
...
n
x
x
x
x
   

, 
1
2
...
n
y
y
y
y
 
 

, 
1
1
2
2
...
n
n
x
x y
x
y
x
y
   
  

Agar qo‘shiluvchilar soni aniq bo‘lsa, 

x yig‘indi o‘rniga 
1
n
i
i
x


yozuvdan foydalanish 
qulay. Masalan: 
1
2
1
...
n
i
n
i
x
x
x
x

   

Endi yig‘indi belgisidan foydalanishga doir misollar qaraylik.
1-misol. x va u o‘zgaruvchilarning qiymatlari quyidagi jadvalda berilgan: 
Quyidagi yig‘indilarni topaylik: 

---

9 
Yoki, 2-belgilashdan foydalansak, 
5
1
2
3
4
5
1
1 2 3 4 5 15
i
i
x
x
x
x
x
x

          

Shunga o‘xshash: 
Va bundan 
2-misol. Quyidagilarni topaylik: 
Yechish:
2
2
2
2
2
2
1
2
3
4
5
1 4 9 16 25 55
x
 
 

    


, 
30
y


(iii) 

x=15, 

y=30 va 

xu =111 larga asosan 
. 
Nazorat savollari 
1. “Matematika va miqdoriy usullar” fani nimani o‘rganadi?
2. Boshqaruv tizimi deganda nimani tushunasiz? 
3. Model nima? U qanday belgilarga ega? 
4. Absolyut va nisbiy ko‘rsatkich nima, ularning bir-biridan farqi? 
2-ma’ruza. To‘plamlar nazariyasi 
 
Savollar: 
1. To‘plam tushunchasi. 
2. To‘plamning berilish usullari. 
3. Qism to‘plam tushunchasi. 
4. To‘plamlar ustida amallar. 
5. Amallarning xossalari. 
6. Sonli to‘plamlar. 
7. Masalalarni yechishda to‘plamlar nazariyasidan foydalanish. 
 
Kalit so‘z va iboralar: to‘plam, element, qism to‘plam, to‘plam birlashmasi, to‘plam 
kesishmasi, simmetrik ayirma.
1. To‘plam tushunchasi 
 
To‘plam ayni-bir turdagi ob’ektlarning majmuasi bo‘lib, u katta lotin harflari (A, B, C, …) 
bilan nomlanadi. To‘plamni tashkil etuvchi ob’ektlar uning elementlari deb atalib, odatda kichik a, 
b, c, … lotin harflari bilan nomlanadi. Qulaylik uchun to‘plam elementlari uchun a
1
, a
2
, ... kabi 
indeksli harflardan foydalanish mumkin. 

---

10 
Agar a element (yoki ob’ekt) A to‘plamning elementi bo‘lsa, bu a 
∈ A kabi yoziladi 
(o‘qilishi: a element A to‘plamga tegishli yoki a A ga tegishli), agar a A ga tegishli bo‘lmasa, bu a 
∉ A kabi yoziladi. Masalan, A – juft sonlar to‘plami bo‘lsin. U holda 2 ∈ A, 1028 ∈ A, 5 ∉ A, 0,8 
∉ A bo‘ladi. 
To‘plam, uning elementlarini sanash, yoki ularning biror xususiyatlarini keltirish asosida 
berilib, bunda turli belgilashlardan foydalaniladi. Masalan: 
{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
A

– raqamlar to‘plami; 
{1,2,3,...}
N

– natural sonlar to‘plami; 
, 1
,
{
}
Туризм
курс ўзбек гурухи талаба
T
лари


– Turizm, 1-kurs, o‘zbek 
guruhi talabalari to‘plami; 
{2
,
}
J
n n
N
 

– juft natural sonlar to‘plami; 
{ , , ,..., , , , ,...}
U
A B C
a b c d

- o‘zbek alifbosi harflari to‘plami. 
Birorta ham elemeti bo‘lmagan to‘plam bo‘sh to‘plam deb ataladi va 

kabi belgilanadi. 
Masalan, 2 ga bo‘linuvchi toq sonlar to‘plami, yoki 
2
1 0
x
 
tenglamaning haqiqiy ildizlari 
to‘plami va .... . 
Chekli sondagi elementli to‘plam chekli to‘plam, aks holda cheksiz to‘plam deb ataladi. 
Masalan, 
{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
A

– chekli, 
{1,2,3,...}
N

esa cheksiz to‘plamdir.
Mashqlar. 
1. Quyidagi to‘plamlarning bir-nechta elementlarini ayting:
a) 7 ga karrali sonlar to‘plami;
b) natural sonlar kvadratlaridan iborat to‘plam;
v) [25; 43] ga tegishli tub sonlar to‘plami;
g) natural sonlar kublariga teskari sonlar to‘plami
2. A to‘plam 7n + 2, n ∈ N ko‘rinishdagi tub sonlar bo‘lsin. Quyidagilar to‘g‘rimi: a) 9 ∈ A; 
b) 23 
∈ A; v) 31 ∉ A; g) 37 ∉ A. 
3. V to‘plam x
3
− 7x
2
+12x = 0 tenglama yechimlari to‘plami. Quyidagilar to‘g‘rimi: a) 0 
∈