Математикалық индукция әдісін қолдану мысалдарын шешу

Алгоритм (ол төрт кезеңнен тұрады):
1.негіз(біз дәлелденіп отырған бекіту кейбір қарапайым ерекше жағдайлар үшін ақиқат екенін көрсетеміз ( П = 1));
2. болжау(біздің пікіріміз біріншісі үшін дәлелденген деп есептейміз дейін жағдайлар); 3 .қадам(осы болжам бойынша біз іс үшін бекітуді дәлелдейміз П = дейін + 1); 4.шығару (жмәлімдеме барлық жағдайлар үшін дұрыс, яғни барлығы үшін P) .
Барлық есептерді математикалық индукция әдісімен шешуге болмайтынын, тек кейбір айнымалымен параметрленген есептерді ғана шешуге болатынын ескеріңіз. Бұл айнымалы индукциялық айнымалы деп аталады.
Математикалық индукция әдісін қолдану
Осы теорияның барлығын тәжірибеде қолданып, бұл әдіс қандай есептер қолданылатынын анықтайық.
Теңсіздіктерді дәлелдеуге арналған есептер.
1-мысалБернулли теңсіздігін (1+x)n≥1+n x, x>-1, n ∈ N дәлелдеңдер.
1) n=1 үшін теңсіздік ақиқат, өйткені 1+х≥1+х
2) Кейбір n=k үшін теңсіздік ақиқат деп есептейік, яғни.
(1+x) k ≥1+k x.
Теңсіздіктің екі жағын 1+x оң санына көбейтсек, аламыз
(1+x) k+1 ≥(1+kx)(1+ x) =1+(k+1) x + kx 2
kx 2 ≥0 деп есептесек, теңсіздікке келеміз
(1+x) k+1 ≥1+(k+1) x.
Осылайша, Бернулли теңсіздігі n=k үшін ақиқат деген болжам оның n=k+1 үшін ақиқат екенін білдіреді. Математикалық индукция әдісіне сүйене отырып, Бернулли теңсіздігі кез келген n ∈ N үшін жарамды деп айтуға болады.
2-мысалКез келген натурал саны үшін n>1 болатынын дәлелдеңдер.
Математикалық индукция әдісін қолданып дәлелдеп көрейік.
Теңсіздіктің сол жағын арқылы белгілеңіз.
1), сондықтан n=2 үшін теңсіздік ақиқат.
2) К болсын. Осыны дәлелдеп көрейік Бізде бар .
Салыстыру және, бізде бар, яғни. .
Кез келген натурал k саны үшін соңғы теңдіктің оң жағы оң болады. Сондықтан. Бірақ, демек, және.. n=k+1 үшін теңсіздіктің дұрыстығын дәлелдедік, сондықтан математикалық индукция әдісінің күшімен теңсіздік кез келген натурал n>1 үшін ақиқат.
Жеке басын куәландыратын мәселелер.
1-мысалКез келген натурал n үшін теңдік ақиқат екенін дәлелдеңдер:
1 3 +2 3 +3 3 +…+n 3 =n 2 (n+1) 2 /4.
n=1 болсын, онда X 1 =1 3 =1 2 (1+1) 2 /4=1.
Біз n=1 үшін мәлімдеменің дұрыс екенін көреміз.
2) n=kX k =k 2 (k+1) 2 /4 үшін теңдік ақиқат болсын делік.
3) n=k+1, яғни X k+1 =(k+1) 2 (k+2) 2 /4 үшін бұл тұжырымның ақиқаттығын дәлелдеп көрейік. X k+1 =1 3 +2 3 +…+k 3 +(k+1) 3 =k 2 (k+1) 2 /4+(k+1) 3 =(k 2 (k+1) 2 +4(k+1) 3)/4=(k+1) 2 (k 2 +4k+4)/4=(k+1) 2 (k+2) 2 /4.
Жоғарыдағы дәлелден n=k+1 үшін тұжырымның ақиқат екені анық, сондықтан кез келген натурал n үшін теңдік ақиқат.
2-мысалКез келген натурал n теңдігі үшін дәлелдеңіз
1) n = 1 үшін бұл сәйкестіктің ақиқат екенін тексеріңіз; -дұрыс.
2) n = k үшін де сәйкестік ақиқат болсын, яғни.
3) Бұл сәйкестік n = k + 1 үшін де ақиқат екенін дәлелдеп көрейік, яғни;
Өйткені теңдік n=k және n=k+1 үшін ақиқат болса, онда ол кез келген натурал n үшін дұрыс болады.
Қорытындылау тапсырмалары.
1-мысал 1+3+5+…+(2n-1)=n 2 екенін дәлелдеңдер.
Шешуі: 1) Бізде n=1=1 2 . Демек, мәлімдеме n=1 үшін дұрыс, яғни. A(1) дұрыс.
2) А(k) A(k+1) екенін дәлелдейміз.
k кез келген натурал сан болсын және n=k үшін тұжырым ақиқат болсын, яғни 1+3+5+…+(2k-1)=k 2 .
Дәлелдеп көрейік, онда бекіту келесі n=k+1 натурал саны үшін де дұрыс болады, яғни. не
1+3+5+…+(2k+1)=(k+1) 2 .
Шынында да, 1+3+5+…+(2к-1)+(2к+1)=k 2 +2k+1=(k+1) 2 .
Сонымен, A(k) A(k+1). Математикалық индукция принципіне сүйене отырып, A(n) болжамы кез келген n N үшін дұрыс деген қорытындыға келеміз.
2-мысалФормуланы дәлелдеңдер, n – натурал сан.
Шешуі: n=1 болғанда теңдіктің екі бөлігі де біріне айналады, демек, математикалық индукция принципінің бірінші шарты орындалады.
Формула n=k үшін ақиқат деп есептейік, яғни. .
Осы теңдіктің екі жағын қосып, оң жағын түрлендірейік. Сосын аламыз
Сонымен, формуланың n=k үшін ақиқат болу фактісінен оның n=k+1 үшін ақиқат екендігі шығады, онда бұл тұжырым кез келген натурал n үшін дұрыс.
бөлуге арналған тапсырмалар.